Alwe @Alwe_Logic@mathtod.online
Joined Nov 2022
集合論で言えば、早稲田のセミナーは本当にレベルが高くて私も全然分からないことが多くて良い環境だなぁと思う
よってBaireの範疇定理により $H_f$ はBaire空間である。 $X$ の任意の有限部分集合 $X_\mathrm{fin}$ に対して $\mathbb{R}^{n+2}\setminus X_\mathrm{fin}$ は直感的にも $n$-連結になる。よって $H_f$ の元で $X_\mathrm{fin}$ の元が値域にないようなもの全体は稠密開集合になっていて、よって $X$ を通らないホモトピーも稠密になり、$\mathbb{R}^{n+2}\setminus X$ は $n$-連結となる。
よって[コンパクト開位相をめぐって](https://yamyamtopo.wordpress.com/2017/01/19/%e3%82%b3%e3%83%b3%e3%83%91%e3%82%af%e3%83%88%e9%96%8b%e4%bd%8d%e7%9b%b8%e3%82%92%e3%82%81%e3%81%90%e3%81%a3%e3%81%a6/)の定理2.9よりこの空間は完備距離化可能である。連続写像 $f\colon S^n\to \mathbb{R}^{n+2}\setminus X$ に対して $h(x,0)=f(x)$ かつ $h(x,1)=y$ となるようなホモトピー全体を $\mathrm{Hom}(S^n\times I,\mathbb{R}^{n+2})$ の部分空間として考えて、$H_f$ とすると、$H_f$ は閉部分空間になる。なぜならコンパクト開位相の定義から $h(x,0)\neq f(x)$ となるような $h$ 全体と $h(x,1)\neq y$ となる $h$ 全体は準開基に含まれていて、よってその和集合として表される開集合の補集合となるからである。
$n\in\omega$ を考えて、$X\subseteq\mathbb{R}^{n+2}$ を濃度がたかだか可算の集合 (一般に $\mathrm{cov}(\mathcal{M})$ 未満で良い？)とし、また $y\in \mathbb{R}^3\setminus X$ を任意に取る。今、ホモトピー $h \colon S^n\times I \to\mathbb{R}^{n+2}$ 全体が成す集合にコンパクト開位相を考え、 $\mathrm{Hom}(S^n\times I,\mathbb{R}^{n+2})$ とする。今 $S^n\times I$ はコンパクトなので特に半コンパクトかつコンパクト生成である。また $\mathbb{R}^{n+2}$ は完備距離空間としての構造を持つ。
数学を初めて大体5年弱？くらいだと思うんだけど、当時から数学をやっている人で今まで続けている人って本当に少数になっていて、当時自分の完全に上位互換だなって思ってた人もだんだんと少なくなっていき、悲しいというか寂しいというか、寂寥感がありますね
春、一番好きな季節
最初はここを備忘録として用いようと思っていたが、最近はObsidianを備忘録として用いているため、ここに書くことがない
Alwe
boosted
Pehaps the best proof of Tychonoff Thm is the following by Masayuki Karato:
For a top. space 𝑋 and cardinal κ, 𝑓 : κ→𝑋 converges to a∈𝑋 (notation: f→a) if, for any a∈X and 𝑂∈𝒪ₐ , { α<κ: 𝑓(α)∈O} is unbounded in κ.
Thm 1. 𝑋 is compact iff each 𝑓 : κ→𝑋 for any cardinal κ converges. □
Thm 2 (Tychonoff). Y:=∏\(_{i\in I}X_i\) is compact if all \( X_i,i\in I\) are compact.
Proof (Karato). Suppose 𝑓 : κ→Y; α ↦ 〈𝑎ᵢ\(_{,\alpha}\) : i∈ 𝐼〉. Let 〈𝑎ᵢ\(_{,\alpha}\) : α∈κ〉→𝑎ᵢ for i∈𝐼. Then f→〈𝑎ᵢ: ∈𝐼〉. □
#証明追ったことない定理激白
固有強制法に対する反復定理 (固有強制の可算台反復は固有)
Tychonoffの定理はフィルターの収束を用いた証明は知っているが普通の証明 (？) は知らないな
Louveauの分離定理、証明追ったことないな……
理論\(T\)が\(\Sigma_1\)-集合を弱く表現できるとき、\(\Sigma_1\)-完全集合\(X\)を弱く表現する論理式\(\varphi(x)\)と任意の\(n\in\omega\)に対して\(T\vdash\varphi(\underline{n})\)または\(T\vdash\lnot\varphi(\underline{n})\)であるとすると、\(T\vdash\varphi(\underline{n})\)は\(T\vdash\lnot\varphi(\underline{n})\)が再帰的可算な関係なので、\(n\notin X\)も再帰的可算になるが、これは\(\Sigma_1\)-完全性二矛盾する。
これは妄言だが、数理論理学は他の数学よりformulaに関する帰納法が用いられるというのは、むしろ初等埋め込みとかが中心の数理論理学と比べて準同型が中心なため、証明はベースケースのみしか扱っていないからなのではないのだろうか。
Prikry型強制に対するPrikry補題の証明はRowbottomの定理の系という印象だったけど某大先生に正規フィルター \(U\) が対角共通部分に閉じているという性質を直接的に使ったほうがわかりやすいという話を聴いて、実際このようなのは他の文脈でも使われると聴いた。あとでちゃんと読む。
https://arxiv.org/abs/2201.02322
圏論的論理学 OR モデル理論あたりのゼミをしたい気持ちがある (やるとしても来年からだと思うけど)
領域不変性定理が Hilbert の第5問題の解決に本質的に効いているらしい。Hilbert の第5問題を解くためには局所 Euclid 群 \(G\) が Lie 群 の逆極限 \(\lim_\leftarrow G_n\) で表せれば良いが、この \(G_n\) に対応する Lie 代数の次元を抑えるために領域不変性定理が用いられている。
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