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◎ブレイド群によるエニグマ暗号解読
具体的な形にするのに半年はかかると思うので、忘れないようにメモ。

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<エニグマ暗号解読> 

チューリングは同じ部分群をBombeで探す。
マリアン・レイェフスキは巡回群の長さを不変量扱いに。
<新提案>
対称群を交代結び目で表すと、$φ=[0 3][1 4 2]$は
$In : $W = Knots()
$In : $W.from_gauss_code([-1, 4, -2, -5, -3, 1, -4, 2, 5, 3])
$In :$ K1.alexander_polynomial()
$Out : t^-1 - 1 + t$
$In :$ K1.jones_polynomial()
$Out : 1/t + 1/t^3 - 1/t^4$

に対して
$φ=[0 3 1 4 2]$は
$In : $W = Knots()
$In : $W.from_gauss_code([-1, -4, -2, -5, -3, 1, 4, 2, 5, 3])
$In :$ K1.alexander_polynomial()
$Out : 1$
$In :$ K1.jones_polynomial()
$Out : 1$

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アラン・チューリングへ提案 

Bombeを使う際、
・A⇒C⇒D⇒A
・B⇒D⇒E⇒B
のループを別扱いしていると思いますが、アルファベットをデジタルにすれば1ずれてるだけで同じです。
後は手作業で組み合わせを見つければよいので、Bombeの台数と所要時間が大幅に削減できます。(削減比率を計算中)
from sage.groups.perm_gps.symgp_conjugacy_class import default_representative
S = SymmetricGroup(26)
for p in Partitions(26):
print(default_representative(p, S))

によるとアルファベット26文字の対称群が作り出す部分群パターンはたったの2,436パターンしか無いんです!
(aを1に固定した場合
 更にbを2にする必要も無い)
総当りが403,291,461,126,605,635,584,000,000通り⇒2,436通りで絞り込みが可能になります。

@mathmathniconico すいません、前に言ってた停止タイミングが今日いきなり来てしまいました🤔 今回は数日間で済むと思いますが、一時停止させてください。何も呟かないかもしれませんが、大丈夫?です。


すいません。いま、どういう段階でしょうか?私の解答が合っていないのは分かってはいますが、どうやら前提条件が変わった様に読み取れますので。(今の私には理解不能な内容でしたが。。。)
①次の方針を待つ
②前回の解答を直す
③教科書の設問に戻る
などなど。。。
→①だと思ってます。


4. 任意の$x, y$について
 $x\le y$もしくは$y\le x$

問題3より、
$a_l,a_m$が順序を持つとすると
・$a_l > a_m$…①
・$a_l < a_m$…②
・$a_l = a_m$…③
のいずれかとなる。

①と②は両立することはない。

①③の場合に$a_l\le a_m$、
②③の場合に$a_m\le a_l$
が成り立つ。

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3. $x\le y, y\le x$なら$x=y$

$[ a_{l} ]-[ a_{m} ]\le 0,[ a_{m} ]-[ a_{l} ]\le 0$
$ならば[ a_{l} ]-[ a_{m} ] = 0$を示す。…①

ある$N$が存在して、すべての$l≥N(l\le m)$に対して、
 $a_l-a_m=0$
となればよい。

ここで$[ a_{l} ]$について$N=1$とすれば全ての$l≥N(l\le m)$に対して
 $a_l-a_m=0$
が成り立つ。
- - -
①の対偶をとると
$a_{l}-a_{m} \ne 0$ならば
$a_{l}-a_{m}> 0またはa_{m}-a_{l}> 0$
を示せば良い。

$a_l,a_m$が順序を持つとすると
・$a_l > a_m$
・$a_l < a_m$
・$a_l = a_m$
のいずれかとなる。

仮定から$a_l \ne a_m$より
 $a_l < a_mまたはa_l > a_m$
となる。
$∴$対称律が成り立つ。

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2. $x\le y, y\le z$なら$x\le z$

$\lbrack a_{l} \rbrack-\lbrack a_{m} \rbrack\le 0,\lbrack a_{m} \rbrack-\lbrack a_{n} \rbrack\le 0$
$ならば\lbrack a_{l} \rbrack-\lbrack a_{n} \rbrack\le 0$を示す。

ある$N$が存在して、すべての$l≥N(l\le m,m\le n)$に対して、
 $a_l-a_n≤0$
となればよい。

ここで$\lbrack a_{l} \rbrack$について$N=1$とすれば全ての$l≥N(l\le m,m\le n)$に対して
 $a_l-a_n≤0$
が成り立つ。

仮定より
 $a_l-a_m≤0,a_m-a_n≤0$

よって
$a_{l} - a_{n} $
$=
( a_{l} - a_{m} )
+( a_{m} - a_{n})\le 0$

$∴$推移率が成り立つ。

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1. $x\le x$(ママ引用:続)
$\mathfrak{R}/\mathfrak{N}$の元$\lbrack a_{n} \rbrack$について、$\lbrack a_{n} \rbrack\le\lbrack a_{n} \rbrack$を示す。

定義より、$\lbrack a_{n} \rbrack-\lbrack a_{n} \rbrack\le 0$を示す。
加法の定義より左辺は$\lbrack 0 \rbrack$なので、結局$\lbrack 0 \rbrack\le 0$を示せば良い。

$\lbrack a_{n} \rbrack\le 0$の定義は、ある$N$が存在して、全ての$n\ge N$について$a_{n}\le 0$が成り立つことなので、

$\lbrack 0 \rbrack$について、$N=1$とすれば、$n\ge N$について$a_{n}=0\le 0$。

$∴$反射律が成り立つ。

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基本列$(a_{n})$について、あるところから$a_{n}\le 0$なら$\lbrack a_{n} \rbrack\le 0$と定義する。
$x, y, z\in\mathbb{R}$について
1. $x\le x$
2. $x\le y, y\le z$なら$x\le z$
3. $x\le y, y\le x$なら$x=y$
4. 任意の$x, y$について$x\le y$もしくは$y\le x$

1. $x\le x$(ママ引用)
ある$N$が存在して、全ての$n\ge N$について$a_{n}\le 0$とする。
(右辺は有理数の$0$)
これだけでは$\mathfrak{R}/\mathfrak{N}$上の関係にならないので
一般に$\lbrack a_{n} \rbrack\le\lbrack b_{n} \rbrack$は、$\lbrack a_{n} \rbrack-\lbrack b_{n} \rbrack\le 0$と定義する。

ヒントだと思ったのは勘違いでした。独力で書いたけど、まだボヤッとしてるので推敲。寝る前にアップ予定です。

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ヒントを見つけてきたので明日、同値律にチャレンジします!
。(映像研には手を出すな)


(証明)
集合$A$における関係$O$が次の$(1)(2)(3)$を満たすとき、
$O$を$A$における順序関係
または順序とする。

$(1)A$のすべての元$a$に対して
 反射律:$aOa$
$(2)A$の元$a,b$に対して
 対称律:$aOb,bOa⇒a=b$
$(3)A$の元$a,b,c$に対して
 推移律:$aOb,bOc⇒aOc$

実数の間の大小関係は$\mathbb{R}$における
順序である。

$Oに≤$を当てはめて
$(1) aにx$で
 $x≤x$
$∴1が成り立つ$

$(3) aにx、bにy、cにzで$
 $x\le y, y\le z⇒x\le z$
 $x≤z$
$∴2が成り立つ$

$(2) aにx、bにyで$
 $x=y$のときは
 $x≤y,y≤x⇒x=y$
$∴3が成り立つ$
 $x\ne y$のときは
 任意の$x, y$について
 $x≤yもしくはy≤x$
$∴4が成り立つ$
(証明終)

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集合論の本を見ながら下書き終了。一見簡単そうな問題ほど落とし穴があるので夜まで考える。

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問題(((攻略中)))
順序は簡単で、基本列$(a_{n})$について、あるところから$a_{n}\le 0$なら$\lbrack a_{n} \rbrack\le 0$と定義します。
示してほしいのは$x, y, z\in\mathbb{R}$について
1. $x\le x$
2. $x\le y, y\le z$なら$x\le z$
3. $x\le y, y\le x$なら$x=y$
4. 任意の$x, y$について$x\le y$もしくは$y\le x$

===>>>
間違えて?代数の本を持って出てしまいましたが、これは集合論の同値類ですね。。。明日、教科書を追加して読み直しです。

実数論が深すぎる... 闇すぎる 病み過ぎるけど、もっと沼の底を覗いてみたい。でも、本題と離れてしまう(のか?)


P59下⑤
補題(続)

$α$は(2)を満たさないと仮定したので$n_1≥N_0$である整数$n_1$で
 $a_{n1}<ε/2$
となる$n_1$が存在する。

$α$は(3)を満たさないことも仮定したので$n_2≥N_0$である整数$n_2$で
 $a_{n2}>-ε/2$
となる$n_2$が存在する。

よって$n≥N_0$ならば
 $a_n=(a_n-a_{n1})+a_{n1}$
  $≤|a_n-a_{n1}|+a_{n1}$
  $<\frac{ε}{2}+\frac{ε}{2}$
  $=ε$
 $a_n=(a_n-a_{n2})+a_{n2}$
  $≥-|a_n-a_{n2}|+a_{n2}$
  $>\frac{-ε}{2}+\frac{-ε}{2}$
  $=-ε$
よって
 $|a_n|<εで(2)(3)$を満たさない。
 $α=(a_n)は零列$
$∴$3つの場合のいずれか1つ、しかも1つだけが起こる。
(補題 証明終)

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P59下④
補題
$α=(a_n)$を基本列とすると次の3つの場合のいずれか1つ、しかも1つだけが起こる。
(1)$α$は零列
(2)ある有理数$c>0$と$N\in \mathbb{Z}^{+}$が存在して、すべての$n≥N$に対し$a_n≥c$が成り立つ
(3)ある有理数$c>0$と$N\in \mathbb{Z}^{+}$が存在して、すべての$n≥N$に対し$a_n≥-c$が成り立つ

(補題 証明)
(1)〜(3)が同時に成り立たないことは明らかなので、いずれかの場合が必ず起こる事を示す。

$α=(a_n)$は(2)(3)いずれの性質も持たないと仮定したとき、$α$が零列であることを言えば良い。

$ε>0$を任意の正有理数とする。$α=(a_n)$は基本列なので、ある$N_0\in \mathbb{Z}^{+}$が存在して全ての$m,n≥N_0$に対し
 $|a_m-a_n|<ε/2$
が成り立つ。

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P59下③
4)逆数を掛けると$1$になるのを確認する。

(4 証明)   
乗法を実行して$α*\frac{1}{α}=1$を示す。
乗法の結果は代表元によらないので、計算しやすい代表元を行う。
$α$の代表元を$\{a_n\}$とする。

この$a_n$を用いて$b_n=\frac{1}{a_n}$を定義すると
$(a_n=0のときはb_n=1とする)$
$\{b_n\}$の定義する同値類$\frac{1}{α}$は、割算の定義そのもの。

定義により乗法は代表元同士を掛ければ良いので、その結果は$c_n=a_nb_n=1$の表す同値類になる。
これは実数$1$であり

$∴$逆数を掛けると$1$になる
(4 証明終)
――――――

$∴(1)〜(4)より$環$\mathbb{R}:=\mathfrak{R}/\mathfrak{N}$が体である。

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P59下②
3)$a_n$が基本列のとき、$\frac{1}{a_n}$は基本列である事を確認する。

(3 証明)
列$α=(a_n)$とする。
$α$はゼロ収束列ではないので、

補題によってある有理数$c>0$と正の整数$N$とが存在して、全ての$n≥N$に対し$|a_n| ≥ c$が成り立つ。

$n ≥ N$ならば$a_n \ne 0$なので
 $n < N:b_n=1$
 $n ≥ N:b_n=a_n^{-1}$
とおき、列$β=(b_n)$とする。

$ε>0$を与えられた正有理数とする。
$α$は基本列なので、
正整数$N_1$を$N_1 ≥ N$かつ
$m,n ≥ N_1$ならば
 $|a_m-a_n| < c^2ε$と取る。
$m,n ≥ N_1$のとき
 $|b_m-b_n|=|\frac{1}{a_m}-\frac{1}{a_n}|$
     $=\frac{|a_n-a_m|}{|a_m||a_n|} < \frac{c^2ε}{c^2}=ε$
$∴β=(a_n^{-1})$は基本列。
(3 証明終)

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P59下①
基本列全体を$\mathfrak{R}$、ゼロ収束列全体を$\mathfrak{N}$とする。
収束列は基本列だから$\mathfrak{N}\subset\mathfrak{R}$である。
$\mathbb{R}:=\mathfrak{R}/\mathfrak{N}$が体であることを示す。

目次)
 1)基本列$\mathfrak{R}$は環
 2)乗法の逆数を作る
 3)$\frac{1}{a_n}$は基本列
 4)逆数を掛けると$1$

1)既に基本列$\mathfrak{R}$は環であることを示している。

2)乗法の逆数を作るために、基本列の割算を確認する。
(定義)  
実数$α'=[a’_n]$とゼロでない実数$β'=[b’_n]$の商$\frac{α'}{β'}$は、
整列$f’_n:=$
 $\frac{a’_n}{b’_n}(b’_n\ne 0)$
 $a’_n(b’_n= 0)$
の定める同値類$[f’_n]と定義する。$
 $\frac{[a’_n]}{[b’_n]}=[\frac{a’_n}{b’_n}]$


取り敢えず、下書き完了。
チェック&読み込み。
※なんだか、決して短くはなってない気も...

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P59下 攻略中
・既に基本列$\mathfrak{R}$は環であることを示している。
・乗法の逆数を作るために、基本列の割算を確認する。
・逆数を掛けると1になるのを確認する。
・環$\mathbb{R}:=\mathfrak{R}/\mathfrak{N}$が体である。

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