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◎ブレイド群によるエニグマ暗号解読
具体的な形にするのに半年はかかると思うので、忘れないようにメモ。

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<エニグマ暗号解読> 

チューリングは同じ部分群をBombeで探す。
マリアン・レイェフスキは巡回群の長さを不変量扱いに。
<新提案>
対称群を交代結び目で表すと、$φ=[0 3][1 4 2]$は
$In : $W = Knots()
$In : $W.from_gauss_code([-1, 4, -2, -5, -3, 1, -4, 2, 5, 3])
$In :$ K1.alexander_polynomial()
$Out : t^-1 - 1 + t$
$In :$ K1.jones_polynomial()
$Out : 1/t + 1/t^3 - 1/t^4$

に対して
$φ=[0 3 1 4 2]$は
$In : $W = Knots()
$In : $W.from_gauss_code([-1, -4, -2, -5, -3, 1, 4, 2, 5, 3])
$In :$ K1.alexander_polynomial()
$Out : 1$
$In :$ K1.jones_polynomial()
$Out : 1$

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アラン・チューリングへ提案 

Bombeを使う際、
・A⇒C⇒D⇒A
・B⇒D⇒E⇒B
のループを別扱いしていると思いますが、アルファベットをデジタルにすれば1ずれてるだけで同じです。
後は手作業で組み合わせを見つければよいので、Bombeの台数と所要時間が大幅に削減できます。(削減比率を計算中)
from sage.groups.perm_gps.symgp_conjugacy_class import default_representative
S = SymmetricGroup(26)
for p in Partitions(26):
print(default_representative(p, S))

によるとアルファベット26文字の対称群が作り出す部分群パターンはたったの2,436パターンしか無いんです!
(aを1に固定した場合
 更にbを2にする必要も無い)
総当りが403,291,461,126,605,635,584,000,000通り⇒2,436通りで絞り込みが可能になります。

「論理代数入門講座」が面白い。内容は至って平易な記号論理学であるが、ブール代数をリレー回路で表現しているので、述語論理を工場の人に説明するにはかえってやりやすい。

ベシ圏、TheBasicのザベを思い出す。
100年ほど前にそういう雑誌があったのですよ

”類体論へ至る道”を読む前は以下に書いてある事を深く考える事もなく、適当に流していた気がする。これも数学の効能だろう。 

製造職場で材料と製造指示を一緒に回しているのだが、”製造指示”をペーパーレスにすると効率が良くなる伝説がある。困った事にその効能を誰も説明できないのである。という事は、誰かが別の工場で観てきた伝聞情報が独り歩きしているのであり、哲学が無いからきっと真似しても役に立たない。
今日は、これがどうして役に立つのか?という事を考えてまとめていた。理由はちゃんとあるんだ。


【補題】
任意の$a∈Q ,a∉ Q^2$に対して、
ある$t ∈ \mathbb{Q}^×、m ∈ \mathbb{Z}$が存在して、
 $a = t^2m(m \neq 0, 1, m)$
は平方因子を含まない。

(証明)
$a$ を既約分数で表す
 $a= \frac{b}{c}、$
 $b,c∈Z, c>0, gcd(b,c)=1、$
 $b = b^2_1b_2,b_2$は平方因子を含まない、
 $c = c^2_1c_2,c_2$は平方因子を含まない
とおく

$t=b_1/c_1c_2,m=b_2c_2$とおくと、
$a=t^2m$となる。
$a∉\mathbb{Q}^2$より$m\neq 1$
また
$a\neq 0$なので$t\neq 0, m\neq 0$
$b2, c2$はともに平方因子を含まない
有理整数であり、
$gcd(b2, c2) = 1 $なので
$m$もまた平方因子を含まない
有理整数である。
(証明終)

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補題より
ある$t\in \mathbb{Q}^✗,m\in \mathbb{Z}$が存在して
 $D=t^2m,m\neq 0,1,m$
は平方因子を含まない。
このとき
  $α=\frac{-b±\sqrt{t^2m}}{2a}$
 $=-\frac{b}{2a}±\frac{t}{2a}\sqrt{m}\in \mathbb{Q}(\sqrt{m})$
よって
 $K=\mathbb{Q}\cup (K\ \mathbb{Q})\subset \mathbb{Q}(\sqrt{m})$

$K$は$\mathbb{Q}(\sqrt{m})$の$\mathbb{Q}$上の部分ベクトル空間であり
$K$は$\mathbb{Q}$上の2次体なので
 $dim_\mathbb{Q}K=dim_\mathbb{Q}\mathbb{Q}(\sqrt{m})=2$
よって
 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{m})$
(証明終)

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P97 例題
$\mathbb{Q}$上の2次体$K$はすべて
 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{m}),m\in \mathbb{Z}$
と表せる。
(証明)
$K$は2次体なので$\mathbb{Q}\subset K$
また$α\in K, α∉ \mathbb{Q}$とすると
$dim_\mathbb{Q}K=2$より
$1,α,α^2$は$\mathbb{Q}$上、1次従属である。
よって、ある$a,b,c\in \mathbb{Q}$が存在して
 $aα^2+bα+c=0$

$a=0$とすると、
$bα+c=0$となり
・$b=0$ならば$c=0$となって$α$が$\mathbb{Q}$上、1次従属であることに反し、
・$b\neq 0$ならば$α=-c/b$となって$α∉ \mathbb{Q}$に反する。
よって$a\neq 0$

$D=b^2-4ac$とおくと、
2次方程式の解の公式より
 $α=\frac{-b±\sqrt{D}}{2a}$
$α∉\mathbb{Q}$より、$D∉\mathbb{Q}^2$

抽象的に物事を考える訓練はビジネスにも役立つなぁ。大抵、上の人間は思いつきでアイデアの断片を口にしているので、それをそのまま実現しても不正解なのだ。抽象的に考えて、一つ次元を上げてそれを具体化すると正解になる事が多い。担当レベルだとついつい次元を下げて具体的にしちゃうんだが、真実はその逆だ。


P96 問題
$f(X)\in \mathbb{Q}[X]$とする
$a,b$が有理数のとき
$f(a+bi)=0→f(a-bi)=0$
(証明)
$g(X)$
$=(X-a-bi)(X-a+bi)$
$=X^2-2aX+(a^2+b^2)$
と置く
商を$q(X)$、余りを$mx+r$とすると
$f(X)=q(X)(X^2-2aX+$
$a^2+b^2)+mX+r$

$X=a+bi$のとき$f(X)=0$より
$q(X)(X^2-2aX+a^2+b^2)=0$
余りも$mX+r=0$で
$m(a+bi)+r=0$
$(am+r)+bmi=0$
$a±bi$を解に持つので$b\neq 0$
$∴m=0$
$∴r=0$
$f(X)=q(X)(X^2-2aX$
$+a^2+b^2)$

$(X^2-2aX+a^2+b^2)$に$X=a-bi$とすると
$(a-bi)^2-2a(a-bi)$
$+a^2+b^2)$
$=a^2-2abi-b^2-2a^2+2abi$
$+a^2+b^2$
$=0$

$∴f(a+bi)=0→$
$f(a-bi)=0$
(証明終)

そうか、数学の本じゃなかったから気が付かなかったけど当たり前だ。

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ずっと前に双対問題の話を書いたんですが、「信頼性工学」のFTAというブール代数を用いたツリーでもやはり似たような物がありました。故障を発生させる事象の最小組み合わせを最小カットセットと言いますが、システムを機能させる(故障を起こさない)最小組み合わせを最小パスセットと言います。最小カットセットのORゲートとANDゲートを入れ替えて、事象と補事象で置き換えると(補事象とは何かで考えてますが)双対問題になって最小パスセットになります。

「お気に入り」を付けてもらった際に、Androidで見るときちんと分かるのに、iOSとMacOSのSafariで見ると表示されないという不思議な現象を確認しました。なんでしょうねぇ。


P95 第7章 代数体へ入門(別証明)

(証明)
$f(X)=X^2-m$とおくと、
$m$は平方数ではないので
$f(X)$は$\mathbb{Q}$上で既約。…①

$g(X)=a+bX(a,b\in \mathbb{Q})$とする。
$a=b=0$でなければ①より
$f(X)$と$g(X)$は互いに素なので
定理3.5の系により
 $∃h(X),k(X)(\in \mathbb{Q}[X]);$
 $f(X)h(X)+g(X)k(X)=1$

$X=θ$を代入すると$f(θ)=0$なので
$g(θ)k(θ)=1$を得る。
$k(θ)$は$θ^2=m$を使って整理すると、
 $k(\sqrt{m})\in K$
であることが分かるから、
 $g(θ)=a+bθ\in K^✗$
には必ず逆元がある。
(証明終)

(定理3.5の系)
$f(X),g(X)\in \mathbb{R}[X]$とする。
 $(f,g)=1⇔$
 $∃p∃q(\in \mathbb{R}[X])[pf+qg=1]$


積$αβ$については
 $αβ=$
 $(a+b\sqrt{m})(c+d\sqrt{m})=$
  $(ac+mbd)+(ad+bc)\sqrt{m}$
 $\in K$

商$α/β$については$β\neq 0$とすると、$c\neq 0$または$d\neq 0$
よって$c-d\sqrt{m}\neq 0$
 $\frac{α}{β}=\frac{a+b\sqrt{m}}{c+d\sqrt{m}}$
      $=\frac{(a+b\sqrt{m})(c-d\sqrt{m})}{(c+d\sqrt{m})(c-d\sqrt{m})}$
      $=\frac{(ac-mbd)+(-ad+bc)\sqrt{m}}{c^2-md^2}$
 $\in K$

よって$K$は体をなす。
(証明終)

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P95 第7章 代数体へ入門
定理7.1
$m$を平方数ではない整数とし、$θ^2=m$なる$θ$を取る。
 $K=\{x+yθ|x,y\in \mathbb{Q}\}$
とすると、
$K$は通常の加法、乗法で体をなす。
すなわち$K$は$\mathbb{C}$の部分体である。
(証明)
任意の$α=a+b\sqrt{m},β=c+d\sqrt{m}$
$(a,b,c,d\in \mathbb{Q})$に対して
$α±β,a/β(β\neq 0)$が
$K$の元であることを示す。

和$α+β$については
 $α+β=$
 $(a+b\sqrt{m})+(c+d\sqrt{m})=$
 $(a+c)+(b+d\sqrt{m})\in K$
$α-β$についても同様。

メルカリで、ものすごく多量に数学書を出してる方がいて、2冊買ったので事情を聞いてみたら親父さんが亡くなったそうです。変に古本屋に売るよりも、四散しますがメルカリもありだなぁと思いました。しかしこの本があらゆる分野に渡って広く深く、私は経済的にもとても無理だなぁと。


P92 問題: 整列順序なら全順序である。

(定義)
1.$≤の$定義
$≤$を集合$A$における1つの順序とする時、
$A$の元$a,b$に対して$a ≤ b$が成り立つならば
$a$は$b$以下である。
$a ≤ b$は$b ≥ a$とも書く。

2.全順序
$A$の元$a,b$に対して$a ≤ b$または$b ≤ a$のいずれかが成り立つ時、
$a,b$は順序$≤$について比較可能であると言う。
$A$のどの2元も必ず$≤$について比較可能である時、
$≤$は$A$における全順序であると言う。

3.整列順序
集合$A$上の順序$≤$が整列順序であるとは、
$A$の空でない部分集合が必ず
$≤$に関する最小元を持つことをいう。

(証明)
集合$A$上の整列順序≤に対し、$a,b∈A$を任意に取ると
$\{a,b\}$は$A$の空でない部分集合なので最小元を持ち、
もし$a$が最小元なら$a ≤ b$であり、
$b$が最小元なら$b ≤ a$である。
(証明終)

設備信頼性工学のFTAというツールの「故障の木」というツリー構造を構築するのに、ブール代数が出てくるし、計算はグラフ理論とで解ける。確率分布関数も鬼の様に使うし、その気になれば工場は数学の塊だ。


積$αβ$については
 $αβ=$
 $(a+b\sqrt{m})(c+d\sqrt{m})=$
  $(ac+mbd)+(ad+bc)\sqrt{m}$
 $\in K$

商$α/β$については$β\neq 0$とすると、$c\neq 0$または$d\neq 0$
よって$c-d\sqrt{m}\neq 0$
 $\frac{α}{β}=\frac{a+b\sqrt{m}}{c+d\sqrt{m}}$
      $=\frac{(a+b\sqrt{m})(c-d\sqrt{m})}{(c+d\sqrt{m})(c-d\sqrt{m})}$
      $=\frac{(ac-mbd)+(-ad+bc)\sqrt{m}}{c^2-md^2}$
 $\in K$

よって$K$は体をなす。
(証明終)

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