まげ店長 @MageManager@mathtod.online

昨日今日で分かったこと
①ポントリャーギンの最大値原理と、ベルマンの動的計画法は実用上は同じ(と見做す)
②時系列ネットワークとマルコフ過程は実用上は同じ(と見做す)
③動的計画法は、知らずに昔、苦労の末に考えて使っていた。
④遅延評価も、別の目的で知らずに使っていたが、関数にするという発想は無かったので嬉しい。
※明日からは実務だ

ロジスティクス問題をモデリングするのに時系列ネットワークを利用すると概念は簡単だが変数が爆発的に増加してちょっとした問題でも変数が2,000個を簡単に超えてしまって変数を正しく記述するコーディングが面倒で難しくなるし、通常のPCレベルでは実用的な時間内に動かすのが難しくなる。グラフ理論のマッチングなど別の概念を使うとそれは楽なのだが、今度はfor文を多用するのでコーディング自体の保守性が困難になる。色々と実現方法があるが、最も良い解決方法が見つかっていない。量子コンピューターなどを使うとこの辺りがどうなのか。現実世界の課題はモデリングさえしっかり出来ていれば最適化問題として再現出来るので、後は実運用での計算可能性の問題に落とし込まれるので抽象化できる。

◎ブレイド群によるエニグマ暗号解読
具体的な形にするのに半年はかかると思うので、忘れないようにメモ。

チューリングは同じ部分群をBombeで探す。
マリアン・レイェフスキは巡回群の長さを不変量扱いに。
＜新提案＞
対称群を交代結び目で表すと、$φ=[0 3][1 4 2]$は
$In : $W = Knots()
$In : $W.from_gauss_code([-1, 4, -2, -5, -3, 1, -4, 2, 5, 3])
$In :$ K1.alexander_polynomial()
$Out : t^-1 - 1 + t$
$In :$ K1.jones_polynomial()
$Out : 1/t + 1/t^3 - 1/t^4$

に対して
$φ=[0 3 1 4 2]$は
$In : $W = Knots()
$In : $W.from_gauss_code([-1, -4, -2, -5, -3, 1, 4, 2, 5, 3])
$In :$ K1.alexander_polynomial()
$Out : 1$
$In :$ K1.jones_polynomial()
$Out : 1$

Bombeを使う際、
・A⇒C⇒D⇒A
・B⇒D⇒E⇒B
のループを別扱いしていると思いますが、アルファベットをデジタルにすれば1ずれてるだけで同じです。
後は手作業で組み合わせを見つければよいので、Bombeの台数と所要時間が大幅に削減できます。（削減比率を計算中）
from sage.groups.perm_gps.symgp_conjugacy_class import default_representative
S = SymmetricGroup(26)
for p in Partitions(26):
print(default_representative(p, S))

によるとアルファベット26文字の対称群が作り出す部分群パターンはたったの2,436パターンしか無いんです！
（aを1に固定した場合
　更にbを2にする必要も無い）
総当りが403,291,461,126,605,635,584,000,000通り⇒2,436通りで絞り込みが可能になります。

マルコフ決定過程と有限オートマトンの本を会社に持っていく。今日はMathematicaのマニュアルと機械学習の復習をしてた。使えるものは何でも使っていくよ。

ベルマンの動的計画法は工業的な匂いが濃い。なので予め時系列ネットワークやマルコフ過程を知っていれば意外とあっさりと読める。ハイハイって感じ。微分がそこに要る？って感じで代数的に解釈が出来るので嬉しい。
ポントリャーギンの最大値原理は駆逐艦の潜水艦探索や対空ミサイル迎撃等の軍用目線の匂いがする。バリバリのベクトル解析。
私はまだそう思えないが、キータの記事によると両者は同じらしい。

昨日今日で分かったこと
①ポントリャーギンの最大値原理と、ベルマンの動的計画法は実用上は同じ(と見做す)
②時系列ネットワークとマルコフ過程は実用上は同じ(と見做す)
③動的計画法は、知らずに昔、苦労の末に考えて使っていた。
④遅延評価も、別の目的で知らずに使っていたが、関数にするという発想は無かったので嬉しい。
※明日からは実務だ

そうか、今までは線形計画法問題しか考えてこなかったから非線形問題は関心が無かったんだけど、非線形問題は変分法なのか。だったら嫌いな解析も少しは勉強しないとならないか。整数混在型ならば現実世界のモデリングにもそんなに困らなかったけど。モデリングの方法は一杯知ってる方が楽で良い。似たようなロジスティクス問題を解くのに、マッチングとオイラー閉路とグラフ分割をそれぞれ当てはめれば良いと読んで、ホォとなってた所へポントリャーギンだ。「ダイナミック・プログラミング」という古本があって、良く読んでみるとシンプレックス法とマルコフ過程みたいな内容だった。

明倫館書店
1)ポントリャーギン　最適過程の数学的理論
2)繭野　方程式とガロア理論入門
どっちも古本で安い
ポントリャーギンって連続群論のあの人だよな。これはいわゆる変分法なんだろうか。
かれこれ2時間は居た。今、直面している業務問題を解くヒントを見つけに来る。どストライクは稀にしか出会わないけど、それでもヒントは多く貰える。

機密情報を伝えるには数学の問題にして平文で送ればいい。一日もあれば解読されるけど、既にその情報は陳腐化されていて暗号としては用が足りる。

群はピシッとしてて
環はちょっとトリッキーで
体はなんというかヌメッ？ニュルッとしてますね。その違いが面白い。

補題3
$L/K$が拡大体、$f(x)\in K[x]$が既約でモニックな多項式
　$α\in L,f(α)=0$
とする。
このとき$f$は$α$の
$K$上の最小多項式である。
（証明）
$g(x)$を$α$の最小多項式とすると
P184系より$g(x)$は$f(x)$を割り、
$f(x)$は$g(x)$の定数倍である。
両方ともモニックなので
　$f(x)=g(x)$
（証明終）

#類体論へ至る道
補題2
$L/K$が体の拡大で$α\in L$であるとき、次は同値。
(1)$α$は$K$上代数的。
(2)$K[α]=K(α)$
（証明）
1→2：
　$φ:K[x]→L$を$φ(x)=α$
となる$K$準同型とすると、
　$K[α]\cong K[x]/(f(x))$
$K[α]$は整域なので、$f(x)$は既約。
$K[α]$は体なので、
　$K[α]=K(α)$
2→1:
$α=0$は明らかに$K$上代数的なので
$α\neq 0$とする。
$α^{-1}\in K[α]$なので
　$α^{-1}=a_0+a_1α+…+a_nα^n$
となる$n ≧ 0$と
　$a_0,…,a_n\in K$
　$(a_n \neq 0)$
がある。
　$-1+a_0α+…+a_nα^{n+1}=0$
となるので$α$は$K$上代数的である。
（証明終）

#類体論へ至る道
(証明2)
(1)が任意の$β$に対して成り立つので
特に$α$に対しても成り立ち、
　$K(α)\cong K[x]/(f(x))\cong K(β)$
この同型により
　$α→x+(f(x))→β$
と対応する。
補題3より
$f(x)$は$β$の最小多項式でもある。

（証明3）
P104 問題より示される。
（証明終）

#類体論へ至る道
補題1
$L/K$にて$α\in L$の$K$上の最小多項式を
　$f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+…+a_n$
とする。このとき$β\in L$が$f(x)$の根ならば次が成り立つ。
(1)$K$上$β$で生成された環$K(β)$は
　対応$x+(f(x))→β$
　により、体$K[x]/(f(x))$と同型。
(2)$f(x)$は$β$の最小多項式でもあり、
　$K$上の同型$K(α)\cong K(β)$で
　$α$が$β$に対応するものが存在する。
(3)$\{1,α,…,α^{n-1}\}$は$L$の$K$上の基底

(証明1)
$f(β)=0$なので全射準同型$φ$
　$φ:K[x]/(f(x))→K[β]$
で
　$φ(x+(f(x))=β$
となるものが存在する。
$K[x]/(f(x))$は体なので$φ$は単射。
よって補題2より
　$K[x]/(f(x))\cong K[β]=K(β)$

#類体論へ至る道
$\overline{Q}$は代数閉体なので
補題1 (1),(2)より
$g(β)=0$となる$β\in \overline{Q}$がある。
よって$φ(M)$準同型
　$ω:φ(M)[x]/(g(x))→\overline{Q}$…③
で
　$ω(x+(g(x)))=β$
となるものがある。

②より
　$M(α)\cong M[x]/(f(x))$
　$\cong φ(M)[x](g(x))$…④
なので$ψ$を
①の$L=M(α)$と
④の$M(α)\cong φ(M)[x]/g((x))$と
③の$ω$の合成とすれば
$ψ$は$φ$の$M(α)$への延長。
（証明終）

@mathmathniconico
#類体論へ至る道
P191 命題
$M$を$L/K$の中間体とする。
$M/K$の任意の共役写像は$L/K$の共役写像に延長できる。

（証明）
　$K-M-L-\overline{Q}$
　$φ:M→\overline{Q}$
　$ψ:L→\overline{Q}$
とする。

補題1 (3)より
　$L=M(α),(α\in L)$…①
となる$α$の$M$上の
最小多項式$f(x)$を
　$f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+,…,+a_n$
　$(a_1,…,a_n\in M)$
とし
　$g(x)=x^n+φ(a_1)x^{n-1}+$
　$…+φ(a_n)$
とおく。

$f(x)$は$M$上既約で$M$と$φ(M)$は同型なので$g(x)$は$φ(M)[x]$で既約。
P186補題より$M(α)$は$M$上で
$M[x]/(f(x))$と同型。…②

#類体論へ至る道
“共役写像の意味“を把握するのに二転三転してP191命題で手間取っています。清書し終わったので納得できればアップする予定です。

#類体論へ至る道
P191 命題
清書しようと思った矢先に、どうも求められているのと違う問題をこの1週間考えてた様ですねと、やっと気づく。無駄では無いですが、考え直し。

業界の展示会で配車システムというのは良く見る機会があって、組合せ論と数理最適化をゴリゴリに使う仕組みである。今日のスマート物流展では“操船計画”という面白い仕組みが出ていて、制約条件が路上の配車計画と比べるとなかなかに深くて面白い。一見すると簡単そうに見えるが、バース数など配車システムでは無視してしまう所などが面白い。吃水は車幅に相当するし、排水量は車格に相当する。

ロジスティクス問題をモデリングするのに時系列ネットワークを利用すると概念は簡単だが変数が爆発的に増加してちょっとした問題でも変数が2,000個を簡単に超えてしまって変数を正しく記述するコーディングが面倒で難しくなるし、通常のPCレベルでは実用的な時間内に動かすのが難しくなる。グラフ理論のマッチングなど別の概念を使うとそれは楽なのだが、今度はfor文を多用するのでコーディング自体の保守性が困難になる。色々と実現方法があるが、最も良い解決方法が見つかっていない。量子コンピューターなどを使うとこの辺りがどうなのか。現実世界の課題はモデリングさえしっかり出来ていれば最適化問題として再現出来るので、後は実運用での計算可能性の問題に落とし込まれるので抽象化できる。

行きつけの整形外科はリハビリ科があって、まるでジョブショップ工場の様になっています。そのうち患者が増えてくると、あそこがボトルネックになってスケジューリングが大変になるだろうなぁと思っていたらまさにその通りになってきた。さぁ、ここで2箇所以上をスケジューリングしようとすると破綻するのであるが。。。（ハラハラ）

過去に2度ほど、間近で浮気の修羅場に遭遇した事がある。その時に解決しようと論理式を書いてみたが全く矛盾していて論理学は無力だった。成長過程にある、そして撤退する組織でも哀しい事に同様だった。それでも私は論理の力を信じている。

#類体論へ至る道
$Ω=\cup^∞_iK_i$とすると、
任意の$α\in Ω$について$α\in K_i$となる
$K$の代数拡大体$K_i$が存在するので
$α$は$K$に関して代数的であり
$Ω$は$K$の代数拡大体である。

　$h(X)=\sum_{i=1}^{n} α_iX^i \in Ω[X]$
を定数ではない任意の多項式とする。
　$α_0,α_1,…,α_n \in K_i$
となる$K_i$が存在するので
　$h(X) \in K_i[X]$は$K_{i+1}$において、
ゆえに$Ω$において根を持つ。
よって$Ω$は代数的に閉じている。

P186補題より
$Ω$は全ての$K$係数多項式の分解体である。
（証明終）