というわけで、だいぶカンニングしましたが答えは
\[
n = 125, 500, 600, 66500
\]
でした。

$X=x/5^2$, $Y=y/5^3$ とおいたので
$x=5^2 X$, $y=5^3 Y$ですから極小ワイエルシュトラス方程式での楕円曲線上の点 $(X,Y)$ が整数点なら $(x,y)$ も整数点です。

逆は難しそうなので Sage でカンニングすると(最初からSageでやってもよかったわ)、ぴったりこれだけしか整数点はありませんでした。

ちなみに楕円曲線の整数解は常に有限個だということがわかっています (ジーゲルの定理)。

ちなみにこれの Mordell-Weil 群は $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ と同型だそうですので、同型な元の楕円曲線の Mordell-Weil 群もこれに同型です。

LMFDBに整数点の欄があって

$(-4, 6)$, $(0, 10)$, $(5, 15)$, $(20, 90)$, $(24, 118)$, $(2660, 137190)$

と書かれています。
元の問題は $X>0$ のところを求めるので例えば $X=5$ だと $x = 5^2\times 5=125$ という解があることがわかりました。

他にも $20, 24, 2660$ をそれぞれ25倍したものも解です。

そこで LMFDB lmfdb.org という楕円曲線のデータベースサイトで

[0,0,0,0,1562500]

と入力してみます。
すると
\[
y^3 = x^2 + 100
\]
の情報が出ました。lmfdb.org/EllipticCurve/Q/900/

方程式が違う曲線ですが、これは元の曲線の極小ワイエルシュトラス方程式 (minimal Weierstrass equation) のようです。

実際、元の方程式を $5^6$ で割ると
\[
\left(\frac{y}{5^3}\right)^2
=\left(\frac{x}{5^2}\right)^3
+\left(\frac{1250}{5^3}\right)^2
\]
で、$X=x/5^2$, $Y=y/5^3$とおけばそうなります。

$\sqrt{1250^2 + n^3}$ を整数 $y$ とおいたら、
$$y^2 = x^3 + 1250^2$$ という(アフィン)楕円曲線の整数点 $(x,y)$ で $x>0$ のところを求めればいいことになりました。

Twitterより
twitter.com/2019_Seren/status/

自然数 $n$ に対して
\[
\sqrt{{1250}^2+n^3}
\]
が整数のとき $n$ は何でしょうか。

数学の力でダークエネルギを減らしたい……

おもしろそう < Statistical ranking and combinatorial Hodge theory | SpringerLink link.springer.com/article/10.1

[Haskell][math]トロピカルのでグラフ最短経路できるの知らだったー < 動的計画法を実現する代数〜トロピカル演算でグラフの最短経路を計算する〜 - Qiita qiita.com/lotz/items/094bffd77

Twitterでグリーンの定理がわからないみたいなのがあったので復習します。

$M$を向き付け可能な多様体で $\omega$ を $M$ の境界 $\partial M$ 上の微分形式とすると
\[
\int_M d\omega = \int_{\partial M}\omega
\]
だ。

よーし今から今開催中のAtCoderのabcやるぞー < AtCoder Beginner Contest 131 - AtCoder atcoder.jp/contests/abc131

のコンテストはみんなで一斉に時間内にやりますが、過去問はいつでも試せますので、是非みんなもやろうぜ

AtCoder、面白いです。できませんけど、面白いです。

コンテストは限られた時間でやるので、頭がよくて回転が速い人がたくさんいるんだなあと実感します。

それから、こういうプログラミングでは数学的な考え方がとても大事だと実感を持ってわかります。

E - Cell Distance
atcoder.jp/contests/abc127/tas
これはあるコストの総和を求めますが、非常に大きくなるので $10^9 + 7$ で割ったあまりを提出するようになっています。

C - Best-of-(2n-1)
atcoder.jp/contests/m-solution
は、期待値を有理数として求めて、それの表現として
その期待値を互いに素な整数 $P, Q$ を用いて $P/Q$ と表したときに
$RQ \equiv P \pmod 10^9 + 7$ となる $0 \leq R \leqq 10^9 + 6$ な整数を提出します。

C - Typical Stairs atcoder.jp/contests/abc129/tas
これ階段を上る問題で、高校数学の組合せなんかの問題で出てくる考え方がいきなり使えます。

西武ライオンズのロゴの L は、わしが子供の頃は
\[\mathscr{L}\]
みたいな感じじゃったけど、今は
\[\mathbb{L}\]
みたいな感じなんじゃね。

6日前、誰にも気付かれることなく、Mathtodon に Mastodon v2.8.3 をマージしました。

最近競技プログラミングのサイト AtCoder をちょこちょこやっています。

いつも、愚直な方法では計算量が多すぎて指定時間をタイムアップしてしまうので、注意しないと思っていたら、昨日の問題の C は、逆に全探索して大丈夫な問題でした。その見積もりをあらかじめやれるようになってないとだめだなあと思いました。

競技プログラミング、とても離散数学っぽい感じで面白いです。

AtCoder はこちら atcoder.jp

AtCoderの他にもたくさん競技プログラミングができるサイトがあります。

勉強してみて、初等的な三角形とかの幾何学とか、屈折のところの物理から正弦関数だけ使ったりして、結構これは中高生が楽しめる題材だと思いました。

虹、環水平アーク、環天頂アーク、などなど。

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Mathtodon

A Mastodon instance named Mathtodon, where you can post toots with beautiful mathematical formulae in TeX/LaTeX style.