超越数論でBakerの定理の威力がすさまじいと感じた午後じゃった。

これはユークリッドの互除法をやっている状態。

\[
\frac{7}{4} = 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{3}}
\]

次は、なんと1がずっと続く。

\[
\frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cdots}}}
\]

$\alpha \in \mathbb{R}$, $\alpha >0$ の連分数展開

\[
\alpha = a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cdots}}}
\]

$a_i \in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ for $i=0,1,\ldots$.

$\alpha$ を $1$ で「余り付き割り算」していることになっている。(カギ括弧付きの意味は、商を整数で取るということ。)

$\displaystyle \frac{\alpha}{1}$ という割り算の「商」が $a_0$ 。これは整数部分になっている。

連分数でどのぐらい近似ができるのかについてはたとえば、木村俊一先生の

『連分数のふしぎ (ブルーバックス)』 amzn.to/3hyaunw

などに書いてあります。(この本は他にも連分数にまつわる楽しい話題がたくさんかいてあります)

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例えば、最初の動画で $0.2007008$ % と出ているあたりで、2次の連分数が $\frac{4}{1993}$ になっています。これは小数で表すと $.00200702458605117912$ です。

$.00200702458605117912$
$.002007008 $

の二つの数を見ると、既にかなり近い近似になっていることがわかります。

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回数の部分をここでは何次のと呼んでいます。

このTime Fliesのサイト

time-flies.herokuapp.com

で2番目の○をクリックしたりタップしたりして、連分数近似表示を出して遊んでみてください。

次数が奇数と偶数で動きが違うこともわかるかもしれません。

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$$ x= 0 + \frac{1}{a_1}$$

になります。とかこう。 Mathtodonなので。

$a_1$ のところを再び整数部分と残りに分けて

$$x= \frac{1}{(整数部分 + 残り)}
$$
として、(残り)を 1/(何か) で表す(逆数にするだけ) と、この作業を何度もできますので、これが実数の連分数近似です。これを何度か繰り返して作業を止めて後ろを消すと必ず有理数になるので、手頃な x の近似の分数が得られます。

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連分数で少し遊んだウェブサイトを大晦日にずっとやりたかった改良ができたので是非ご覧ください。

動画をこちらに: twitter.com/NeXTSTEP2OSX/statu

今年がどのぐらい過ぎ去ったのかの割合を小数で出すだけでなく、有理数の分数でも表示したらわかりやすいと思って、初期は「2次の連分数近似」をしていました。ついに昨日、次数を変えられるようにできました! (何年もやりたかったんですが、なかなかできなかった。まず頑張ってReactに書き換えて、改造をしやすくしました。)

過ぎ去った割合 $x$ は $0$ 以上 $1$ 未満の数なので連分数にする最初の整数はいつも $0$ で

x = 0 + 1/(何か)

になります。
(何か)のところを再び整数部分と残り

これ、10年(?)ぐらい前にのらんぶる氏が作っておられました。

> Webの時代だし,紙じゃできないこととして,いわゆる「(論理の)行間」を自由に調整できる数学書とかあったら面白そう。

mathtod.online/@cmplstofB/1054

みんな論理学めちゃんこ詳しいな……

新規ユーザの承認作業が滞っていていました。サーセンww

寺田健太郎先生の講演を聴いたことがあってすごく感動しました。
地球の酸素が月の届いている可能性に気付いて、それをちゃんと示した先生!

気付いたときのことも話して下さいました。まさに研究が誕生した瞬間!

mathtod.online/@cmplstofB/1053

素イデアルは $\{0\}$ を含みます。 任意のイデアルは $\{0\}$ を含みます。

これを書きに来てMathtodonがダウンしていることに気付いたというね

おおおおこんな代数幾何の入門書が出るのか! これは絶対買う! < 永井保成著『代数幾何学入門:代数学の基礎を出発点として』 amzn.to/2JN0BGh

ダウンしていたことにさっき気付いて復旧しました。すみません。

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