Twitterより
https://twitter.com/2019_Seren/status/1153293377879756800
自然数 $n$ に対して
\[
\sqrt{{1250}^2+n^3}
\]
が整数のとき $n$ は何でしょうか。
そこで LMFDB http://www.lmfdb.org という楕円曲線のデータベースサイトで
[0,0,0,0,1562500]
と入力してみます。
すると
\[
y^3 = x^2 + 100
\]
の情報が出ました。http://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/900/d/2
方程式が違う曲線ですが、これは元の曲線の極小ワイエルシュトラス方程式 (minimal Weierstrass equation) のようです。
実際、元の方程式を $5^6$ で割ると
\[
\left(\frac{y}{5^3}\right)^2
=\left(\frac{x}{5^2}\right)^3
+\left(\frac{1250}{5^3}\right)^2
\]
で、$X=x/5^2$, $Y=y/5^3$とおけばそうなります。
ちなみにこれの Mordell-Weil 群は $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ と同型だそうですので、同型な元の楕円曲線の Mordell-Weil 群もこれに同型です。
LMFDBに整数点の欄があって
$(-4, 6)$, $(0, 10)$, $(5, 15)$, $(20, 90)$, $(24, 118)$, $(2660, 137190)$
と書かれています。
元の問題は $X>0$ のところを求めるので例えば $X=5$ だと $x = 5^2\times 5=125$ という解があることがわかりました。
他にも $20, 24, 2660$ をそれぞれ25倍したものも解です。
@cmplstofB 結局リストをカンニングしているので山場というわけではないかなあと思います。めのこで $5^6$ で割ると極小ワイエルシュトラス方程式になるというだけです。
与えられた方程式から極小ワイエルシュトラス方程式を導くアルゴリズムもあります。Silverman の本 (Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves) に書いてあります。