Twitterより
https://twitter.com/2019_Seren/status/1153293377879756800

自然数 $n$ に対して
\[
\sqrt{{1250}^2+n^3}
\]
が整数のとき $n$ は何でしょうか。

これをやります。

$\sqrt{1250^2 + n^3}$ を整数 $y$ とおいたら、
$$y^2 = x^3 + 1250^2$$ という(アフィン)楕円曲線の整数点 $(x,y)$ で $x>0$ のところを求めればいいことになりました。

そこで LMFDB http://www.lmfdb.org という楕円曲線のデータベースサイトで

[0,0,0,0,1562500]

と入力してみます。
すると
\[
y^3 = x^2 + 100
\]
の情報が出ました。http://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/900/d/2

方程式が違う曲線ですが、これは元の曲線の極小ワイエルシュトラス方程式 (minimal Weierstrass equation) のようです。

実際、元の方程式を $5^6$ で割ると
\[
\left(\frac{y}{5^3}\right)^2
=\left(\frac{x}{5^2}\right)^3
+\left(\frac{1250}{5^3}\right)^2
\]
で、$X=x/5^2$, $Y=y/5^3$とおけばそうなります。

ちなみにこれの Mordell-Weil 群は $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ と同型だそうですので、同型な元の楕円曲線の Mordell-Weil 群もこれに同型です。

LMFDBに整数点の欄があって

$(-4, 6)$, $(0, 10)$, $(5, 15)$, $(20, 90)$, $(24, 118)$, $(2660, 137190)$

と書かれています。
元の問題は $X>0$ のところを求めるので例えば $X=5$ だと $x = 5^2\times 5=125$ という解があることがわかりました。

他にも $20, 24, 2660$ をそれぞれ25倍したものも解です。

$X=x/5^2$, $Y=y/5^3$ とおいたので
$x=5^2 X$, $y=5^3 Y$ですから極小ワイエルシュトラス方程式での楕円曲線上の点 $(X,Y)$ が整数点なら $(x,y)$ も整数点です。

逆は難しそうなので Sage でカンニングすると(最初からSageでやってもよかったわ)、ぴったりこれだけしか整数点はありませんでした。

ちなみに楕円曲線の整数解は常に有限個だということがわかっています (ジーゲルの定理)。

というわけで、だいぶカンニングしましたが答えは
\[
n = 125, 500, 600, 66500
\]
でした。