#数楽 連分数で少し遊んだウェブサイトを大晦日にずっとやりたかった改良ができたので是非ご覧ください。
動画をこちらに: https://twitter.com/NeXTSTEP2OSX/status/1344951010091884545
今年がどのぐらい過ぎ去ったのかの割合を小数で出すだけでなく、有理数の分数でも表示したらわかりやすいと思って、初期は「2次の連分数近似」をしていました。ついに昨日、次数を変えられるようにできました! (何年もやりたかったんですが、なかなかできなかった。まず頑張ってReactに書き換えて、改造をしやすくしました。)
過ぎ去った割合 $x$ は $0$ 以上 $1$ 未満の数なので連分数にする最初の整数はいつも $0$ で
x = 0 + 1/(何か)
になります。
(何か)のところを再び整数部分と残り
$$ x= 0 + \frac{1}{a_1}$$
になります。とかこう。 Mathtodonなので。
$a_1$ のところを再び整数部分と残りに分けて
$$x= \frac{1}{(整数部分 + 残り)}
$$
として、(残り)を 1/(何か) で表す(逆数にするだけ) と、この作業を何度もできますので、これが実数の連分数近似です。これを何度か繰り返して作業を止めて後ろを消すと必ず有理数になるので、手頃な x の近似の分数が得られます。
例えば、最初の動画で $0.2007008$ % と出ているあたりで、2次の連分数が $\frac{4}{1993}$ になっています。これは小数で表すと $.00200702458605117912$ です。
$.00200702458605117912$
$.002007008 $
の二つの数を見ると、既にかなり近い近似になっていることがわかります。
連分数でどのぐらい近似ができるのかについてはたとえば、木村俊一先生の
『連分数のふしぎ (ブルーバックス)』 https://amzn.to/3hyaunw
などに書いてあります。(この本は他にも連分数にまつわる楽しい話題がたくさんかいてあります)
回数の部分をここでは何次のと呼んでいます。
このTime Fliesのサイト
https://time-flies.herokuapp.com
で2番目の○をクリックしたりタップしたりして、連分数近似表示を出して遊んでみてください。
次数が奇数と偶数で動きが違うこともわかるかもしれません。