$(a^x)' = \log{a} \cdot a^x$

$y = a^x$について、両辺に自然対数を取ると
$\log y = log a^x$
$\log y = x \log a$

両辺をxで微分すると
$(\log y)' = (x \log a)'$

$\frac{d(\log y)}{dy} \frac{dy}{dx} = \frac{d(x \log a)}{dx}$

$\frac{1}{y} \cdot y' = \log a$

$y' = y \log a$

$y = a^x$より、$y'= (a^x)' = a^x \log a$

以上より$(a^x)' = \log{a} \cdot a^x$

@uy 等しいことを使って等しいことを示してはだめなので、最初のところを $=$ を付けずに左辺と右辺それぞれ自然対数を取るとすればOKです。

@Nyoho ありがとうございます!ええと、私が分かってないだけなんですが等しいことを使って等しいことを示してはだめな理由って何でしょうか?

Follow

@uy 勉強中のように見えるのでせっかくですからずばりの答えではなくヒントを先にお伝えしますね! ヒント: 「(等しいことを使って等しいことを示そうとすると)それで証明になっているでしょうか?」

@Nyoho $A=B$を証明したいのであれば、$A$を仮定して$A \to B$が真、かつ、$B$を仮定して$B \to A$が真であることを証明すれば良いと思います(私が知る限りでは)。この証明について結論が真かどうかわからないのに結論と同値の命題を真とするのは意味ないでしょう、という感じかなと思いますが、すみません具体的にどこらへんが同値になっているのかわからないです…。

@uy 混同されているように思います。今の場合 $A=B$ の $A$ と $B$ というのは命題ではないですよね。 $(a^x)'$ とかですから。

@Nyoho すみませんこちら、考えてみたのですが、きちんとした答えがでませんでした。命題(主語と述語)または式(等号不等号で繋がれた数と文字)を用いて推論をすすめるのが演繹だということは思い出しましたが、そこから話が進められていません。

@uy 遅レスですww

何を混同されていると思ったかというと、まず、 $A=B$ を証明したいとおっしゃっているのは今は、$A$ と $B$ というのは、命題ではなくて、関数ですよね。

そうすると「$A$ を仮定する」という言葉の意味がわからなくなります。 $A$ が命題なら「$A$ を仮定する」ということに意味があります。

@Nyoho 右辺か左辺だけからスタートして色々とこねくり回した結果、あら不思議、もう一方の辺になりました。って感じかなと…

Sign in to participate in the conversation
Mathtodon

A Mastodon instance named Mathtodon, where you can post toots with beautiful mathematical formulae in TeX/LaTeX style.