$\mathscr{N}_{yoho}$ @Nyoho@mathtod.online

> このように、具体的な例を１つ決めて、それをベースに抽象的な概念を勉強するのは、実は結構有効な方法なのではと思っています。

ここ(・∀・)ｲｲ!!ね〜〜

つじもったー(@tsujimotter)さんの3部作、ついに出そろいました! すばらしい!

• 指数層系列(1)：指数関数の性質から得られる短完全列 - tsujimotterのノートブック http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/exponential-sheaf-sequence-1

• 指数層系列(2)：層の短完全列 - tsujimotterのノートブック http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/exponential-sheaf-sequence-2

• 指数層系列(3): 層係数コホモロジー - tsujimotterのノートブック http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/exponential-sheaf-sequence-3

Mathtodon 独自の機能開発もリリースしたいですが、まだ途中で止まっています。

これはバグフィックスが中心のリリースなのであまり変化はありません。v2.9ではガラッと見た目が変わります。

https://github.com/tootsuite/mastodon/releases/tag/v2.9.0

- Change default layout to single column in web UI
- Change light theme
- Change preferences page into appearance, notifications, and other
など

超絶久しぶりに #Mathtodon をアップデートしました。

v2.8.3 -> v2.8.4

このままじゃここではだめだった

https://twitter.com/donnay1224/status/895173675015708672
Twitterで拾ってきたのでテスト

\[
( \, _\circ \grave{\mbox{\small \textbullet}} \underline{\hspace{0.5em}} \acute{\mbox{\small \textbullet}} _\circ )
\]

ミーティング「数学の可視化と Virtual Reality」 - Webpage of Yutaka Ishii https://sites.google.com/site/webpageyutakaishii/Home/visualization
に来ました。

@cmplstofB 結局リストをカンニングしているので山場というわけではないかなあと思います。めのこで $5^6$ で割ると極小ワイエルシュトラス方程式になるというだけです。
与えられた方程式から極小ワイエルシュトラス方程式を導くアルゴリズムもあります。Silverman の本 (Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves) に書いてあります。

というわけで、だいぶカンニングしましたが答えは
\[
n = 125, 500, 600, 66500
\]
でした。

$X=x/5^2$, $Y=y/5^3$ とおいたので
$x=5^2 X$, $y=5^3 Y$ですから極小ワイエルシュトラス方程式での楕円曲線上の点 $(X,Y)$ が整数点なら $(x,y)$ も整数点です。

逆は難しそうなので Sage でカンニングすると(最初からSageでやってもよかったわ)、ぴったりこれだけしか整数点はありませんでした。

ちなみに楕円曲線の整数解は常に有限個だということがわかっています (ジーゲルの定理)。

ちなみにこれの Mordell-Weil 群は $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ と同型だそうですので、同型な元の楕円曲線の Mordell-Weil 群もこれに同型です。

LMFDBに整数点の欄があって

$(-4, 6)$, $(0, 10)$, $(5, 15)$, $(20, 90)$, $(24, 118)$, $(2660, 137190)$

と書かれています。
元の問題は $X>0$ のところを求めるので例えば $X=5$ だと $x = 5^2\times 5=125$ という解があることがわかりました。

他にも $20, 24, 2660$ をそれぞれ25倍したものも解です。

そこで LMFDB http://www.lmfdb.org という楕円曲線のデータベースサイトで

[0,0,0,0,1562500]

と入力してみます。
すると
\[
y^3 = x^2 + 100
\]
の情報が出ました。http://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/900/d/2

方程式が違う曲線ですが、これは元の曲線の極小ワイエルシュトラス方程式 (minimal Weierstrass equation) のようです。

実際、元の方程式を $5^6$ で割ると
\[
\left(\frac{y}{5^3}\right)^2
=\left(\frac{x}{5^2}\right)^3
+\left(\frac{1250}{5^3}\right)^2
\]
で、$X=x/5^2$, $Y=y/5^3$とおけばそうなります。

$\sqrt{1250^2 + n^3}$ を整数 $y$ とおいたら、
$$y^2 = x^3 + 1250^2$$ という(アフィン)楕円曲線の整数点 $(x,y)$ で $x>0$ のところを求めればいいことになりました。

これをやります。

Twitterより
https://twitter.com/2019_Seren/status/1153293377879756800

自然数 $n$ に対して
\[
\sqrt{{1250}^2+n^3}
\]
が整数のとき $n$ は何でしょうか。

数学の力でダークエネルギを減らしたい……

おもしろそう < Statistical ranking and combinatorial Hodge theory | SpringerLink https://link.springer.com/article/10.1007/s10107-010-0419-x

わしの $\mathscr{H}$ です。