くじらのお昼寝 @PAM1934@mathtod.online

ここで$\Psi \colon \mathbb{N} \to I^-$を

$$ \Psi(n) =
\begin{cases}
(-1,0) & n = 0, \\
\Phi(n-1) & n \geq 1
\end{cases} $$

と定めれば，$\Psi \colon \mathbb{N} \to I^-$は可逆な写像となる．このとき，$(S_{\Psi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$は$C([0,1])$のSchauder基底となることが知られている．上で定義したSchauder関数系を正規化した

$$ \widetilde{S}_{n,k} =
\begin{cases}
S_{n,k} & n = 0, \\
2^n S_{n,k} & n \geq 1
\end{cases} $$

をSchauder関数系と呼ぶこともある．

同じことだが，あるいは

$$ S_{n,k}(t) =
\begin{cases}
\frac{1}{2^n} - \left\lvert t - \frac{2k+1}{2^n} \right\rvert & t \in \left[ \frac{2k}{2^n},\frac{2k+2}{2^n} \right], \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases} $$

とも表現できる．

Schauder関数系をもう少し具体的に表記してみよう．$n \geq 1$のとき，

$$ H_{n,k} = 1_{\left[ \frac{2k}{2^n},\frac{2k+1}{2^n} \right[} - 1_{\left[ \frac{2k+1}{2^n},\frac{2k+2}{2^n} \right]} $$

であった．したがって，

$$ S_{n,k}(t) =
\begin{cases}
t - \frac{2k}{2^n} & t \in \left[ \frac{2k}{2^n},\frac{2k+1}{2^n} \right[, \\
\frac{1}{2^n} - \left( t - \frac{2k+1}{2^n} \right) & t \in \left[ \frac{2k+1}{2^n},\frac{2k+2}{2^n} \right], \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases} $$

となる．

前項で述べたHaar関数系は，Schauder基底の代表例である．古典的なSchauder基底としては，他にSchauder関数系も重要である．

まずは，$S_{-1,0} \equiv 1$と定義する．$(n,k) \in I$の時は，

$$ S_{n,k}(t) = \int_0^t H_{n,k}(t) \mathrm{d}t \qquad t \in [0,1] $$

とする．添え字集合$I$を$I^- = I \cup \{ (-1,0) \}$と定義し，$(S_i)_{i \in I^-}$をSchauder関数系と呼ぶ．

$p > 1$の場合，これは無条件基底であるが，$p = 1$の場合はそうはならない．$L^1([0,1])$は無条件基底を持たないからである．

このとき，Haar関数系の添え字集合は

$$ I := \coprod_{n \in \mathbb{N}} I_n = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \{ n \} \times I_n $$

となっている．さて，関数$\Phi \colon \mathbb{N} \to I$を次の手順で定義しよう．まずは，$\Phi(0) = (0,0)$と定義する．$m \geq 1$のとき，$m = 2^{n-1} + k$を満たすような$n \geq 1$と$k \in I_n$がただ一つ存在するので，それらを用いて$\Phi(m) = (n,k)$と定める．このとき写像$\Phi \colon \mathbb{N} \to I$は可逆である．このパラメータ付けにより，$(H_{\Phi(m)})_{m \in \mathbb{N}}$は$L^p([0,1])$のSchauder基底となることが知られている．

指示関数を用いれば

$$ H_{n,k} = 1_{\left[ \frac{2k}{2^n},\frac{2k+1}{2^n} \right[} - 1_{\left[ \frac{2k+1}{2^n},\frac{2k+2}{2^n} \right]} $$

とも表現できる．このように定義された関数系$(H_{n,k})_{n,k}$をHaar関数系という．

Haar関数系を一列に並べることで，$L^p$空間のSchauder基底が得られる．$n \in \mathbb{N}$に対して，

$$ I_n =
\begin{cases}
\{ 0 \} & n =0 \\
\{ 0,\dots, 2^{n-1}-1 \} & n \geq 1
\end{cases} $$

と定義する．

【Haar関数系】

まずは，関数$H_{0,0}$を

$$ H_{0,0}(t) = 1 \qquad t \in [0,1] $$

と定める．$n \geq 1$と
$k \in \{0,\dots, 2^{n-1}-1 \}$に対して，関数$H_{n,k} \colon [0,1] \to \mathbb{R}$を以下の様に定義する．

$$ H_{n,k}(t)
=
\begin{cases}
1 & t \in \left[ \frac{2k}{2^n},\frac{2k+1}{2^n} \right[, \\
-1 & t \in \left[ \frac{2k+1}{2^n},\frac{2k+2}{2^n} \right], \\
0 & \text{otherwise}.
\end{cases} $$

$\mathbb{R}^T$の位相の定義より，全ての$x \in \mathbb{R}^T$は
$$
x = \sum_{t \in T} x(t)\delta_{t}
$$と級数展開できるから，$f$の線形性と連続性より
$$
f(x) = \sum_{t \in T} x(t)f(\delta_t) = \sum_{i \in I} c_i x(t_i)
$$となる．(Q.E.D.)

$t \in T \setminus \{ t_i; i \in I \}$のとき$f(\delta_t) = 0$となることを確かめよう．このとき，全ての$\lambda \in \mathbb{R}$について
$$
\lambda \delta_t \in \bigcap_{i \in I} \operatorname{pr}_{t_i}^{-1}(B_i) \subset f^{-1}(\mathopen{]}-1,1 \mathclose{[})
$$が成り立つ．よって$f$の線形性より全ての$\lambda \in \mathbb{R}$について
$-1 < \lambda f(\delta_t) < 1$となるが，このような実数$f(\delta_t)$は$0$に限る．

（証明）
$\operatorname{pr}_t \colon \mathbb{R}^T \to \mathbb{R}$を標準的な射影とする．$f$の連続性と直積位相の定義より，有限個の$(t_i) \in T^I$と$\mathbb{R}$の開球族$(B_i)_{i \in I}$で，
$$
\bigcap_{i \in I} \operatorname{pr}_{t_i}^{-1}(B_i) \subset f^{-1}(\mathopen{]}-1,1 \mathclose{[})
$$を満たすものが存在する．$\delta_t \in \mathbb{R}^T$を
$$
\delta_t(s)
= \begin{cases}
1 & s = t \\
0 & s \neq t
\end{cases}
$$と定義し，
$$
c_i = f(\delta_{t_i})
$$と定める．

【 直積位相線形空間の双対】

$T$を集合とし，$\mathbb{R}^T$を直積位相により局所凸空間と考える．このとき，$\mathbb{R}^T$の位相的双対空間を調べたい．

［命題］
$f \colon \mathbb{R}^T \to \mathbb{R}$を連続線形写像とする．このとき，有限集合$I \subset \mathbb{N}$と$(c_i) \in \mathbb{R}^I$，$(t_i) \in T^I$で，
$$
f(x) = \sum_{i \in I} c_i x(t_i) \qquad x \in \mathbb{R}^T
$$を満たすものが存在する．

《平行移動の絶対連続性》
$h \in X$に対して，平行移動作用素$\tau_h \colon X \to X$を$\tau_h(x) = x + h$により定める．

［定理］
$x \in H(\gamma)$ならば，平行移動した測度$(\tau_h)_* \gamma$は元のGauss測度$\gamma$と同値である．$v_\gamma(x^*) = x$と表せば，そのRadon-Nikodym導関数は
$$\frac{\mathrm{d}(\tau_h)_* \gamma}{\mathrm{d}\gamma}(x) = \exp \left( x^*(x) - \frac{1}{2} \lVert x \rVert^2_{H(\gamma)} \right)$$で与えられる．

Cameron-Martin空間$X^*_\gamma$は次のように特徴づけられる．

［命題］
分散関数$v_\gamma$を，標準的な同型により$\operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}(X^*,(X^*)^\vee)$の元と考える．（ただし，$E^{\vee}$は線形空間$E$の代数的双対を表す．）このとき，$H(\gamma) \subset v_\gamma(X^*_\gamma)$が成り立つ．さらに，$x = v_\gamma x^*$ならば$\lVert x \rVert_{H(\gamma)} = \lVert x^* \rVert_{L^2(\gamma)}$となる．

［系］
$v_\gamma(X^*_\gamma) \subset X$なら$v_\gamma(X^*_\gamma) = H(\gamma)$であり，$v_\gamma \colon X^*_\gamma \to H(\gamma)$は等長な同型写像となる．特に，Cameron-Martin空間$H(\gamma)$はHilbert空間の構造をもつ．

$x \in X$に対して，
$$\lVert x \rVert_{H(\gamma)} = \sup \{ \langle x^*,x \rangle \mid x^* \in X^*, v_\gamma(x^*,x^*) \leq 1 \}$$とおき，
$$ H(\gamma) = \{ x \in X \mid \lVert x \rVert_{H(\gamma)} < \infty \}$$と定義する．このように定義された空間$H(\gamma)$をCameron-Martin空間と呼ぶ．

《Cameron-Martin空間》
Gauss測度$\gamma$に対して，
$$X^*_\gamma = \operatorname{Cl}_{L^2(\gamma)} \{ f-m_\gamma(f) \} \subset L^2(\gamma)$$と定義する．このとき，$X^*_\gamma$の元はどれも中心化Gauss型確率変数となっている．$X^*_\gamma$は$L^2(\gamma)$の閉部分空間だから，$L^2(\gamma)$の内積の制限によりHilbert空間となる．これを$\gamma$の再生核Hilbert空間と呼ぶ．

このとき，積分の線形性より$m_\gamma \colon X^* \to \mathbb{R}$は線形写像であり，また$v_{\gamma} \colon X^* \times X^* \to \mathbb{R}$は双線形写像となる．$m_{\gamma}$を$\gamma$の平均と呼び，$v_{\gamma}$を$\gamma$の共分散と呼ぶ．

《Gauss測度の平均と分散》
$\gamma$を局所凸空間$X$上のGauss測度とする．
このとき，$X^* \subset L^2(\gamma)$である．実際，$f \in X^*$とすれば，$f_*\gamma$がGauss測度であることから
$$\int_X \lvert f(x) \rvert^2 \gamma(\mathrm{d}x) = \int_{\mathbb{R}} \lvert y \rvert^2 f_* \gamma(\mathrm{d}y) < \infty$$が成り立つ．そこで，
$$m_\gamma(f)= \int_X f \mathrm{d}\gamma \qquad f \in X^*$$および
$$v_{\gamma}(f,g) = \int_X (f-m_{\gamma}(f))(g-m_{\gamma}(g)) \mathrm{d}\gamma$$と定義する．

【Gauss測度とCameron-Martin空間】

《局所凸空間上のGauss測度》
$X$を局所凸空間とし，$X^*$をその位相的双対空間とする．$\sigma(X^*)$上の確率測度$\gamma$で，全ての$f \in X^*$について像測度$f_* \gamma$が$\mathbb{R}$上のGauss測度となるようなものを，$X$上のGauss測度と呼ぶ．

$I$が１点集合の場合には$R[(X_i)_{i \in I}]$を特に$R[X]$と書く．この場合$R[X]$は自由加群$R^{(\mathbb{N})}$上の積を$\varepsilon_k \varepsilon_l = \varepsilon_{k + l}$によって定めたものであり，もっとすっきりと記述できる．