【Gauss測度とCameron-Martin空間】
《局所凸空間上のGauss測度》
$X$を局所凸空間とし，$X^*$をその位相的双対空間とする．$\sigma(X^*)$上の確率測度$\gamma$で，全ての$f \in X^*$について像測度$f_* \gamma$が$\mathbb{R}$上のGauss測度となるようなものを，$X$上のGauss測度と呼ぶ．
《Gauss測度の平均と分散》
$\gamma$を局所凸空間$X$上のGauss測度とする．
このとき，$X^* \subset L^2(\gamma)$である．実際，$f \in X^*$とすれば，$f_*\gamma$がGauss測度であることから
$$\int_X \lvert f(x) \rvert^2 \gamma(\mathrm{d}x) = \int_{\mathbb{R}} \lvert y \rvert^2 f_* \gamma(\mathrm{d}y) < \infty$$が成り立つ．そこで，
$$m_\gamma(f)= \int_X f \mathrm{d}\gamma \qquad f \in X^*$$および
$$v_{\gamma}(f,g) = \int_X (f-m_{\gamma}(f))(g-m_{\gamma}(g)) \mathrm{d}\gamma$$と定義する．
このとき，積分の線形性より$m_\gamma \colon X^* \to \mathbb{R}$は線形写像であり，また$v_{\gamma} \colon X^* \times X^* \to \mathbb{R}$は双線形写像となる．$m_{\gamma}$を$\gamma$の平均と呼び，$v_{\gamma}$を$\gamma$の共分散と呼ぶ．
《Cameron-Martin空間》
Gauss測度$\gamma$に対して，
$$X^*_\gamma = \operatorname{Cl}_{L^2(\gamma)} \{ f-m_\gamma(f) \} \subset L^2(\gamma)$$と定義する．このとき，$X^*_\gamma$の元はどれも中心化Gauss型確率変数となっている．$X^*_\gamma$は$L^2(\gamma)$の閉部分空間だから，$L^2(\gamma)$の内積の制限によりHilbert空間となる．これを$\gamma$の再生核Hilbert空間と呼ぶ．
$x \in X$に対して，
$$\lVert x \rVert_{H(\gamma)} = \sup \{ \langle x^*,x \rangle \mid x^* \in X^*, v_\gamma(x^*,x^*) \leq 1 \}$$とおき，
$$ H(\gamma) = \{ x \in X \mid \lVert x \rVert_{H(\gamma)} < \infty \}$$と定義する．このように定義された空間$H(\gamma)$をCameron-Martin空間と呼ぶ．
Cameron-Martin空間$X^*_\gamma$は次のように特徴づけられる．
［命題］
分散関数$v_\gamma$を，標準的な同型により$\operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}(X^*,(X^*)^\vee)$の元と考える．（ただし，$E^{\vee}$は線形空間$E$の代数的双対を表す．）このとき，$H(\gamma) \subset v_\gamma(X^*_\gamma)$が成り立つ．さらに，$x = v_\gamma x^*$ならば$\lVert x \rVert_{H(\gamma)} = \lVert x^* \rVert_{L^2(\gamma)}$となる．
［系］
$v_\gamma(X^*_\gamma) \subset X$なら$v_\gamma(X^*_\gamma) = H(\gamma)$であり，$v_\gamma \colon X^*_\gamma \to H(\gamma)$は等長な同型写像となる．特に，Cameron-Martin空間$H(\gamma)$はHilbert空間の構造をもつ．
《平行移動の絶対連続性》
$h \in X$に対して，平行移動作用素$\tau_h \colon X \to X$を$\tau_h(x) = x + h$により定める．
［定理］
$x \in H(\gamma)$ならば，平行移動した測度$(\tau_h)_* \gamma$は元のGauss測度$\gamma$と同値である．$v_\gamma(x^*) = x$と表せば，そのRadon-Nikodym導関数は
$$\frac{\mathrm{d}(\tau_h)_* \gamma}{\mathrm{d}\gamma}(x) = \exp \left( x^*(x) - \frac{1}{2} \lVert x \rVert^2_{H(\gamma)} \right)$$で与えられる．
