【 直積位相線形空間の双対】

$T$を集合とし,$\mathbb{R}^T$を直積位相により局所凸空間と考える.このとき,$\mathbb{R}^T$の位相的双対空間を調べたい.

[命題]
$f \colon \mathbb{R}^T \to \mathbb{R}$を連続線形写像とする.このとき,有限集合$I \subset \mathbb{N}$と$(c_i) \in \mathbb{R}^I$,$(t_i) \in T^I$で,
$$
f(x) = \sum_{i \in I} c_i x(t_i) \qquad x \in \mathbb{R}^T
$$を満たすものが存在する.

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(証明)
$\operatorname{pr}_t \colon \mathbb{R}^T \to \mathbb{R}$を標準的な射影とする.$f$の連続性と直積位相の定義より,有限個の$(t_i) \in T^I$と$\mathbb{R}$の開球族$(B_i)_{i \in I}$で,
$$
\bigcap_{i \in I} \operatorname{pr}_{t_i}^{-1}(B_i) \subset f^{-1}(\mathopen{]}-1,1 \mathclose{[})
$$を満たすものが存在する.$\delta_t \in \mathbb{R}^T$を
$$
\delta_t(s)
= \begin{cases}
1 & s = t \\
0 & s \neq t
\end{cases}
$$と定義し,
$$
c_i = f(\delta_{t_i})
$$と定める.

· · Web · 1 · 0 · 0

$t \in T \setminus \{ t_i; i \in I \}$のとき$f(\delta_t) = 0$となることを確かめよう.このとき,全ての$\lambda \in \mathbb{R}$について
$$
\lambda \delta_t \in \bigcap_{i \in I} \operatorname{pr}_{t_i}^{-1}(B_i) \subset f^{-1}(\mathopen{]}-1,1 \mathclose{[})
$$が成り立つ.よって$f$の線形性より全ての$\lambda \in \mathbb{R}$について
$-1 < \lambda f(\delta_t) < 1$となるが,このような実数$f(\delta_t)$は$0$に限る.

$\mathbb{R}^T$の位相の定義より,全ての$x \in \mathbb{R}^T$は
$$
x = \sum_{t \in T} x(t)\delta_{t}
$$と級数展開できるから,$f$の線形性と連続性より
$$
f(x) = \sum_{t \in T} x(t)f(\delta_t) = \sum_{i \in I} c_i x(t_i)
$$となる.(Q.E.D.)

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