【Haar関数系】
まずは，関数$H_{0,0}$を
$$ H_{0,0}(t) = 1 \qquad t \in [0,1] $$
と定める．$n \geq 1$と
$k \in \{0,\dots, 2^{n-1}-1 \}$に対して，関数$H_{n,k} \colon [0,1] \to \mathbb{R}$を以下の様に定義する．
$$ H_{n,k}(t)
=
\begin{cases}
1 & t \in \left[ \frac{2k}{2^n},\frac{2k+1}{2^n} \right[, \\
-1 & t \in \left[ \frac{2k+1}{2^n},\frac{2k+2}{2^n} \right], \\
0 & \text{otherwise}.
\end{cases} $$
指示関数を用いれば
$$ H_{n,k} = 1_{\left[ \frac{2k}{2^n},\frac{2k+1}{2^n} \right[} - 1_{\left[ \frac{2k+1}{2^n},\frac{2k+2}{2^n} \right]} $$
とも表現できる．このように定義された関数系$(H_{n,k})_{n,k}$をHaar関数系という．
Haar関数系を一列に並べることで，$L^p$空間のSchauder基底が得られる．$n \in \mathbb{N}$に対して，
$$ I_n =
\begin{cases}
\{ 0 \} & n =0 \\
\{ 0,\dots, 2^{n-1}-1 \} & n \geq 1
\end{cases} $$
と定義する．
このとき，Haar関数系の添え字集合は
$$ I := \coprod_{n \in \mathbb{N}} I_n = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \{ n \} \times I_n $$
となっている．さて，関数$\Phi \colon \mathbb{N} \to I$を次の手順で定義しよう．まずは，$\Phi(0) = (0,0)$と定義する．$m \geq 1$のとき，$m = 2^{n-1} + k$を満たすような$n \geq 1$と$k \in I_n$がただ一つ存在するので，それらを用いて$\Phi(m) = (n,k)$と定める．このとき写像$\Phi \colon \mathbb{N} \to I$は可逆である．このパラメータ付けにより，$(H_{\Phi(m)})_{m \in \mathbb{N}}$は$L^p([0,1])$のSchauder基底となることが知られている．
$p > 1$の場合，これは無条件基底であるが，$p = 1$の場合はそうはならない．$L^1([0,1])$は無条件基底を持たないからである．
