前項で述べたHaar関数系は,Schauder基底の代表例である.古典的なSchauder基底としては,他にSchauder関数系も重要である.

まずは,$S_{-1,0} \equiv 1$と定義する.$(n,k) \in I$の時は,

$$ S_{n,k}(t) = \int_0^t H_{n,k}(t) \mathrm{d}t \qquad t \in [0,1] $$

とする.添え字集合$I$を$I^- = I \cup \{ (-1,0) \}$と定義し,$(S_i)_{i \in I^-}$をSchauder関数系と呼ぶ.

Schauder関数系をもう少し具体的に表記してみよう.$n \geq 1$のとき,

$$ H_{n,k} = 1_{\left[ \frac{2k}{2^n},\frac{2k+1}{2^n} \right[} - 1_{\left[ \frac{2k+1}{2^n},\frac{2k+2}{2^n} \right]} $$

であった.したがって,

$$ S_{n,k}(t) =
\begin{cases}
t - \frac{2k}{2^n} & t \in \left[ \frac{2k}{2^n},\frac{2k+1}{2^n} \right[, \\
\frac{1}{2^n} - \left( t - \frac{2k+1}{2^n} \right) & t \in \left[ \frac{2k+1}{2^n},\frac{2k+2}{2^n} \right], \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases} $$

となる.

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同じことだが,あるいは

$$ S_{n,k}(t) =
\begin{cases}
\frac{1}{2^n} - \left\lvert t - \frac{2k+1}{2^n} \right\rvert & t \in \left[ \frac{2k}{2^n},\frac{2k+2}{2^n} \right], \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases} $$

とも表現できる.

· · Web · 1 · 0 · 0

ここで$\Psi \colon \mathbb{N} \to I^-$を

$$ \Psi(n) =
\begin{cases}
(-1,0) & n = 0, \\
\Phi(n-1) & n \geq 1
\end{cases} $$

と定めれば,$\Psi \colon \mathbb{N} \to I^-$は可逆な写像となる.このとき,$(S_{\Psi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$は$C([0,1])$のSchauder基底となることが知られている.上で定義したSchauder関数系を正規化した

$$ \widetilde{S}_{n,k} =
\begin{cases}
S_{n,k} & n = 0, \\
2^n S_{n,k} & n \geq 1
\end{cases} $$

をSchauder関数系と呼ぶこともある.

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