【非ハウスドルフな一様空間について】
非ハウスドルフな一様空間において，開近傍で分離できない2点の近傍系は完全に一致する．

Xを非Hausdorffな一様空間とし，x,yを違いを開近傍で分離できない2点とする。それぞれの近傍系を$\mathscr{V}_x$と$\mathscr{V}_y$で表すことにする。このとき全ての開近傍$U \in \mathscr{V}_x$と任意の$V \in \mathscr{V}_y$について$U \cap V \neq \emptyset$となるから，全ての$U \in \mathscr{V}_x$に対して$Y \in \overline{U}$が成り立つ．これより$y$は$x$の近傍フィルター$\mathscr{V}_x$のcluster pointになっている．近傍フィルター$\mathscr{V}_x$はコーシーフィルターなのでcluster pointと極限点の概念が一致し，ゆえに$y$は近傍フィルター$\mathscr{V}_x$に収束する．したがって$\mathscr{V}_y \subset \mathscr{V}_x$が成り立つ．