【非ハウスドルフな一様空間について】
非ハウスドルフな一様空間において，開近傍で分離できない2点の近傍系は完全に一致する．
Xを非Hausdorffな一様空間とし，x,yを違いを開近傍で分離できない2点とする。それぞれの近傍系を$\mathscr{V}_x$と$\mathscr{V}_y$で表すことにする。このとき全ての開近傍$U \in \mathscr{V}_x$と任意の$V \in \mathscr{V}_y$について$U \cap V \neq \emptyset$となるから，全ての$U \in \mathscr{V}_x$に対して$Y \in \overline{U}$が成り立つ．これより$y$は$x$の近傍フィルター$\mathscr{V}_x$のcluster pointになっている．近傍フィルター$\mathscr{V}_x$はコーシーフィルターなのでcluster pointと極限点の概念が一致し，ゆえに$y$は近傍フィルター$\mathscr{V}_x$に収束する．したがって$\mathscr{V}_y \subset \mathscr{V}_x$が成り立つ．
逆向きの包含関係も同様にして示されるので，結局$\mathscr{V}_x = \mathscr{V}_y$がわかる。
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つまり，分離できない2点の近傍が中途半端に交わっている状況は存在しないということ．一様空間というのはある意味どの点の周りでも同じような「近さ」の構造を持ってような空間だから，このようなことが成り立つということかな？
