くじらのお昼寝 @PAM1934@mathtod.online

$R[(X_i)_{i \in I}]$上の積の定義より
\[
X^{\nu} = \varepsilon_{\sum_{i \in I} \nu_i \delta_i}
\]
となることに注意しておく．この表現より，$(X^{\nu})_{\nu \in M}$は自由加群$R[(X_i)_{i \in I}]$の基底を成すことがわかる．したがって，任意の$a \in R[(X_i)_{i \in I}]$は
\[
a = \sum_{\nu \in M} a_{\nu} X^{\nu}
\]
のように一意的に表現される．

先ほどの表現において
特に$I$が有限集合$\{ 1,\dots,m \}$のときは，
\[
a = \sum_{\nu \in \mathbb{N}^{m}} a_{\nu} X_1^{\nu_1} \dots X_m^{\nu_m}
\]
となり，これは$R$係数の$m$変数多項式（だと普段我々が思っている文字列）に等しい．このことから，$R[(X_i)_{i \in I}]$を多項式代数と呼ぶことが正当化してもよさそうだとわかる．

以上の手続きで$R[(X_i)_{i \in I}] = A$上に$R$代数の構造が定められた．しかしこの構造は本当に多項式と呼べるようなものだろうか．このことについて考えてみる．$R[(X_i)_{i \in I}]$の元を「多項式的」に表現するために，変数同士の掛け算を考えてみる．$\nu = (\nu_i)_{i \in I} \in \mathbb{N}^{(I)}$に対して，
\[
X^{\nu} = \prod_{i \in I} X^{\nu_i}_i
\]
と定義する．この式において$X_i^{\nu_i}$は先ほど定義した式積の意味で$X_i$を$\nu_i$回掛けたものである．また
\[
\lvert \nu \rvert = \sum_{i \in I} \nu_i
\]
と定義する．$X^{\nu}$のことを$R$上の単項式といい，$\lvert \nu \rvert$をこの単項式の次数と呼ぶ．

まずは$A$の最も基本的な元である$\varepsilon_m$たちに対して積を定義する．$m,n \in M = \mathbb{N}^{(I)}$に対して，
\[
\varepsilon_m \varepsilon_n = \varepsilon_{m+n}
\]
と定めよう．この対応により，$A = R^{(M)}$上の双線形な２項演算が一意的に定まる．具体的には積は次のような表現される．$A$は自由加群であるから，任意の$a,b \in A$は
\[
a = \sum_{m \in M} a_m \varepsilon_m, \qquad
b = \sum_{n \in M} b_n \varepsilon_n
\]
という形の（一意的な）表現を持つ．このような$a$と$b$の積は
\[
ab = \sum_{m \in M} \sum_{n+l=m} a_n b_l \varepsilon_m
\]
となる．

ざっくりとした言い方をすると，$X_i$は添え字$i$を代数的に自然な方法で$A = R^{(N)}$に埋め込んだものである．なので，これを多項式の第$i$変数と見なすことにする．このように定めた変数の族$(X_i)_{i \in I}$を用いて，$A = R[(X_i)_{i \in I}]$と書くことにする．$R[(X_i)_{i \in I}]$の元を，変数$(X_i)_{i \in I}$をもつ$R$係数多項式と呼ぶことにする．

先に多項式の空間を用意してみたものの，これが本当に多項式と呼ばれるべきものかはまだわからない．$R[(X_i)_{i \in I}]$にうまい代数構造を入れる必要がある．

一旦変数の話は忘れて，$A = R^{(M)}$に演算を定めることを試みよう．$R$は自然に$R$加群と見なせるから，$A = R^{(M)}$は各点ごとの和とスカラー倍により加群の構造を持つ．これを自由加群と呼ぶのであった．したがって，$A$上に足りていない2項演算は双線形な２項演算「積」だけである．

次に，写像$\varepsilon \colon M \to R$を同様に
\[
\varepsilon_m(n) =
\begin{cases}
1 & n = m \\
0 & n \neq m
\end{cases}
\]
と定義する．このときやはり$\varepsilon_m \in R^{(M)}$である．

そこで，$i \in I$に対して$X_i = \varepsilon_{\delta_i}$と定義する．定義より
\[
X_i(n) =
\begin{cases}
1 & n = \delta_i \\
0 & n \neq \delta_i
\end{cases}
\]
となる．

次に，$M = \mathbb{N}^{(I)}$とし，集合$A$を$A = R^{(M)}$により定義する．すなわち，
\[
A =
\{ f \colon M \to \mathbb{N} \mid \text{有限個の$m$を除いて$f(m) = 0$} \}
\]
である．この集合$A$に代数構造を定め，これを多項式代数と呼びたい．

まずは，多項式の変数$X_i$を定義する必要がある．そのために写像$\delta_{i} \colon I \to \mathbb{N}$を
\[
\delta_i(j) =
\begin{cases}
1 & j = i \\
0 & j \neq i
\end{cases}
\]
と定義する．このとき$\delta_i$は$\mathbb{N}^{(I)}$の元となる．

【多項式代数の定義】
多項式が何なのかいつもわからなくなるのでメモ．導入方法はBourbakiにしたがう．

$R$を可換環とする．$R$係数多項式の成す$R$代数$R[(X_i)_{i \in I}]$を以下のように構成する．

まずは，$\mathbb{N}^{(I)}$を自由可換モノイドとする．すなわち，$\mathbb{N}$は集合としては以下のようなものである．
\[
\{ a \colon I \to \mathbb{N} \mid \text{有限個の$i$を除いて$a(i) = 0$} \}
\]
このとき$\mathbb{N}^{(I)}$は各点ごとの和について可換モノイドをなすのであった．これを自由可換モノイドと呼ぶ．

以前測度のアトムについて書いた証明が間違えていたので消しました。今度修正したものを書きます。

【訂正】
条件
$$
\forall A \in \mathcal{A} \quad
\lvert \mu(A) \rvert = \sup \left\{ \lvert \mu(B) \rvert \middle\vert B \in \mathcal{B} \right\}
$$
は
$$
\forall A \in \mathcal{A} \quad
\lvert \mu(A) \rvert = \sup \left\{ \lvert \mu(B) \rvert \middle\vert B \in \mathcal{B} , B \subset A \right\}
$$
の間違いです．

（続き）$\lvert \mu(A_i) \rvert$がどれも有限なら，case 1と同様の議論を行えばよい．

（続き）いま$\varepsilon$と$E$の$\mathcal{A}$-可測分割$(A_i)$は任意に選んでいたから，これより
$$
\lvert \mu \rvert_{\mathrm{ba},\mathcal{A}}(E)
\leq
\lvert \mu \rvert_{\mathrm{ba},\mathcal{B}}(E)
$$
がわかる．

Case 2：$\lvert \mu \rvert_{\mathrm{ba},\mathcal{A}}(E) = \infty$の場合．$M \in \mathbb{N}$を任意に固定し，$E$の$\mathcal{A}$-可測な有限分割$(A_i)$を
$$
\sum_{i \in I} \lvert \mu(A_i) \rvert > M
$$
となるように選ぶ．$\lvert \mu(A_i) \rvert$のいずれかが$+\infty$なら，$\mathcal{B}$の元でそれを内側から近似すれば$\lvert \mu \rvert_{\mathrm{ba},\mathcal{B}}$も$+\infty$であることがわかる．

（続き）$I$に適当に一つの元を追加して$I'$とし，先ほど選んだ$(B_i)_{i \in I'}$を用いて
$$
\begin{cases}
B'_i = B_i & i \in I \\
B'_i = E \setminus \bigcup_{i \in I} B_{i} & i \in I' \setminus I
\end{cases}
$$
と定義すれば，$(B'_i)_{i \in I'}$は$\mathcal{B}$-可測な$E$の有限分割である．
このとき，
$$
\sum_{i \in I} \lvert \mu(A_i) \rvert
\leq
\sum_{i \in I} \lvert \mu(B_i) \rvert + \varepsilon
\leq
\sum_{i \in I'} \lvert \mu(B'_{i})\rvert + \varepsilon
\leq
\lvert \mu \rvert_{\mathrm{ba},\mathcal{B}} + \varepsilon
$$
が成り立つ．

（続き）定義より明らかに，すべての$E \in \mathcal{B}$について
$$
\lvert \mu \rvert_{\mathrm{ba},\mathcal{B}}(E)
\leq
\lvert \mu \rvert_{\mathrm{ba},\mathcal{A}}(E)
$$
である．逆向きの不等号を示そう．

Case 1：$\lvert \mu\rvert_{\mathrm{ba},\mathcal{A}}(E) < \infty$の場合．
$\varepsilon > 0$を任意の固定する．$(A_i)_{i \in I}$を，$E$の$\mathcal{A}$可測な有限分割とする．このとき，仮定より各$i$について$B_i \subset A_i$を$B_i \in \mathcal{B}$かつ
$$
\lvert \mu(B_i) \rvert > \lvert \mu (A_i) \rvert - \frac{\varepsilon}{2^{i+1}}
$$
となるように選ぶことができる．

（続き）このとき，$\mathcal{B}$上で$\lvert \mu \rvert_{\mathrm{ca},\mathcal{A}}=\lvert \mu \rvert_{\mathrm{ba},\mathcal{B}}$が成り立つ．$\lvert \mu \rvert_{\mathrm{ca},\mathcal{A}} = \lvert \mu \rvert_{\mathrm{ba},\mathcal{A}}$が$\mathcal{A}$上で成り立つことはすでに示したから，$\lvert \mu \rvert_{\mathrm{ba},\mathcal{A}}$と$\lvert \mu \rvert_{\mathrm{ba},\mathcal{B}}$を$\mathcal{B}$上で比較すればよい．

【可算加法的測度と有限加法的測度の全変動2】
$(X,\mathcal{A})$を可測空間とし，$\mathcal{B} \subset \mathcal{A}$を部分集合代数とする．$(X,\mathcal{A})$上の実数値測度$\mu$について，以下の性質が成り立っているとしよう
$$
\forall A \in \mathcal{A} \quad
\lvert \mu(A) \rvert = \sup \left\{ \lvert \mu(B) \rvert \middle\vert B \in \mathcal{B} \right\}
$$
$\mu$の$(X,\mathcal{A})$上の測度としての全変動を$\lvert \mu \rvert_{\mathrm{ca},\mathcal{A}}(E)$で，$(X,\mathcal{B})$上の有限加法的測度としての全変動を$\lvert \mu \rvert_{\mathrm{ba},\mathcal{B}}(E)$で表すことにする．

つまり，同じ可測空間$(X,\mathcal{A})$上で考えると，可算加法的測度としての全変動と，有限加法的測度としての全変動は一致する．

（続き）
このとき$(E'_{i})_{i \in F'}$は$\mathcal{A}$-可測な$E$の有限分割であり，構成法より
$$
\sum_{i \in F} \lvert \mu(E_i) \rvert
\leq
\sum_{i \in F'} \lvert \mu(E'_i) \rvert
\leq
\lvert \mu \rvert_{\mathrm{ba}}(E)
$$
を満たしている．いま$F$は$I$の任意の有限部分集合なので，この不等式で$\sup$をとれば
$$
\sum_{i \in I} \lvert \mu(E_i) \rvert
=
\sup_{\substack{F \subset I \\ \text{$I$:finite}}} \sum_{i \in F} \lvert \mu(E_i) \rvert
\leq
\lvert \mu \rvert_{\mathrm{ba}}(E)
$$
となり，逆向きの不等号を得る．

【可算加法的測度と有限加法的測度の全変動】
可測空間$(X,\mathcal{A})$上の実数値測度$\mu$と$E \in \mathcal{A}$について，可算加法的測度としての$E$上での全変動を$|\mu|_{\mathrm{ca}}(E)$，有限加法的測度としての全変動を$|\mu|_{\mathrm{ba}}(E)$であらわすことにする．このとき，明らかに
$$
|\mu|_{\mathrm{ba}}(E) \leq |\mu|_{\mathrm{ca}}(E)
$$
が成り立つ．逆向きの不等号を示すために，$\mathcal{A}$-可測な$E$の可算分割$(E_i)_{i \in I}$を任意に選ぶ．さらに$I$の任意の有限部分集合$F$を固定する．ここで$F' = F \cup \{ \ast \}$とし，
$$
\begin{cases}
E'_i = E_i & i \in F \\
E'_i = X \setminus \bigcup_{i \in F} E_i & i=\ast
\end{cases}
定義しよう．
$$