$$\therefore \int_{0}^{\infty}\frac{x^n}{e^x+1}dx=(1-2^{-n})\Gamma(n+1)\zeta(n+1)$$

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メモ
\begin{align}
& \int_{0}^{\infty}\frac{x^n}{e^x-1}dx-\int_{0}^{\infty}\frac{x^n}{e^x+1}dx \\
= & \int_{0}^{\infty}\frac{2x^n}{e^{2x}-1}dx \\
= & 2\int_{0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}x^ne^{-2kx}dx \\
= & 2\sum_{k=1}^{\infty}\int_{0}^{\infty}x^ne^{-2kx}dx \\
= & 2\sum_{k=1}^{\infty}\bigg[-\bigg(\frac{x^n}{2k}+\frac{nx^{n-1}}{2^2k^2}+\frac{n(n-1)x^{n-2}}{2^3k^3}+\cdots+\frac{n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1}{2^{n+1}k^{n+1}}\bigg)e^{-2kx}\bigg]_{0}^{\infty} \\
= & 2^{-n}\Gamma(n+1)\zeta(n+1)
\end{align}

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メモ
\begin{align}
& \int_{0}^{\infty}\frac{x^n}{e^x-1}dx \\
= & \int_{0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}x^ne^{-kx}dx \\
= & \sum_{k=1}^{\infty}\int_{0}^{\infty}x^ne^{-kx}dx \\
= & \sum_{k=1}^{\infty}\bigg[-\bigg(\frac{x^n}{k}+\frac{nx^{n-1}}{k^2}+\frac{n(n-1)x^{n-2}}{k^3}+\cdots+\frac{n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1}{k^{n+1}}\bigg)e^{-kx}\bigg]_{0}^{\infty} \\
= & \sum_{k=1}^{\infty}\frac{n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1}{k^{n+1}} \\
= & \Gamma(n+1)\zeta(n+1)
\end{align}

室温25度だと冷房つけて21度だと暖房をつける温度差を極端に嫌う人間になってしまった

自分は「ファンディング」を「ファウンディング」だと思ってたころがあった。
雲を探すことになっちゃう・・・

1点集合$X=\{x\}$上の2項関係
$$a\sim b ⇔ a\neq b$$というしょうもない例を思いついてしまった・・・

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対称律と推移律を満たして反射律を満たさない2項関係か・・・自分も考えてみよう

解析的でない滑らかな函数は例えば
\[ \mathrm{exp}\left( -\frac{1}{x^{2}} \right) \]
みたいなやつね。原点での微分係数が全部ゼロになってテイラー展開と一致しない。

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$\mathbb{R}$の開集合は、滑らかな函数の解析的点全体で特徴付けられる。

特に$A$が開集合であれば、$A$において実解析的で、$A$以外で解析的でない$\mathbb{R}$上で滑らかな函数が存在する。

JavaにもSetインターフェースがあります

いつの間にかスマホからでも綺麗に数式が出るようになってた

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テスト

実数全体で定義される無限回微分可能な関数$f(x)$が
$$f'(x)=f(x+1),\ f(0)=1$$を満たすとする。
一見、これで$f(x)$は1つに確定しそうに見えるけど、確定どころかまだ非加算無限のパターンがあるのが面白い。

500 Internal Server Error って表示されます・・・

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画像を投稿しようとするとエラーになるのですが・・・

スマホから見るとローカルタイムラインが表示されるのにすごい時間がかかる…
連合タイムラインより遅いってどういうことやねん…

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