TeXの数式環境で「2^3=8」っていうときの二項演算^をそのまま表示するのはどうすればいいんだっけ?って思って散々調べた挙句に見つけた答えが「\verb|^|」で凹んでる。
専用のコマンドがあると思ってた…

$\sin(グラハム数^\circ)$っていくらだろうって思って計算してみたら
$$\sin(27^\circ)=\frac{1}{4}\sqrt{8-2\sqrt{10-2\sqrt{5}}}$$
に等しくなるみたい。
案外面倒な計算にならずに済んだ。

ここで、$p\not=1$ならば、$\begin{pmatrix}p&q\\0&1\end{pmatrix}$を対角化すると\[\begin{pmatrix}p&q\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&α\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&α\\0&1\end{pmatrix}^{-1}\](ただし、$α$は$α=pα+q$をみたす)なので、\[\begin{pmatrix}x_n\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&α\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p^n&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&α\\0&1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}x_0\\1\end{pmatrix}\]が成り立つ。計算すると、\[x_n=p^n(x_0-α)+α\]を得る。

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数列$\langle x_n\rangle$が\[x_{n+1}=px_n+q\]をみたすとする。これは\[\begin{pmatrix}x_{n+1}\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p&q\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_n\\1\end{pmatrix}\]とも書ける。したがって、\[\begin{pmatrix}x_n\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p&q\\0&1\end{pmatrix} ^n\begin{pmatrix}x_0\\1\end{pmatrix}\]が成り立つ。

完全試合が334ヶ月振りなせいでTwitterが「な阪関無」で賑やか

ノーヒットノーランでもすごいのに

$$\frac{1}{x}\Big(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}\Big)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$$って恒等式、一瞬見て「えっ、合ってるの?」って思ったけどホントに合ってた

WolframAlphaの解説がかつてないほど雑で笑った
これ、そんなに自明じゃないでしょ…

「米2キロ 何合」
→「合」は体積の単位
→だから「2キロ」も体積の単位の「2km^3」と解釈

っていうことか

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火山噴火による津波っていったら山体崩壊とかカルデラの陥没とか想像するけど、気象庁の会見を見るに、どっちでもなさそう…?

2022年の抱負:去年と同じ
2021年の抱負:去年と同じ
2020年の抱負:去年と同じ
2019年の抱負:去年と同じ
2018年の抱負:去年と同じ
2017年の抱負:去年と同じ
2016年の抱負:去年と同じ
2015年以前の抱負:忘れた

$c=1,2,3,4,5,8,12,16$のときは全部のセルに何かしらの色がついてる。
これら以外にそういう特徴がある列はないらしい。

全部のセルではないけど、$c=72$みたいに、$r$が$c$と互いに素なら色がついている列がある。
この特徴がある列も$25$列しかないらしい。最大は$c=840$。

逆に$c=73,74$みたいに、$r$が$c$の倍数付近を除いてさっぱり色がつかない列もある。
たぶん、$c$が奇素数か、奇素数の$2$倍になってるとき。

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同様に、$r$が「$c$の倍数$\pm1$」のセルならば、明らかに黄色になるけど($c=1$だと全部オレンジになっちゃうけど)、やっぱりそうでない場所でも黄色がちらほらある。
任意の$r$に対し
$r^2\equiv1\mod c$
$\Rightarrow r\equiv\pm1\mod c$
を満たす$c$は、
$c=2,4,p^m,2p^m$($p$は奇素数、$m$は非負整数)に限る。

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$r$が$c$の倍数のセルならば、明らかにオレンジになる。
だけど、そうでないセルでオレンジになっているところもある。
任意の$r$に対し
$r^2\equiv0\mod c$
$\Rightarrow r\equiv0\mod c$
を満たす$c$は、$1$以外の平方数を約数に持たない。

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Excelの各セルに
=MOD(ROW()^2,COLUMN())
(行番号を$r$、列番号を$c$としたとき、$r^2$を$c$で割った余り)
を記入して、
値が$0$になるセルはオレンジ、
$1$になるセルは黄色、
それ以外の平方数になるセルは緑色に色づけした。
思った以上に綺麗な感じになってる。

$\cos(x)$は実数全体で定義できる。
→$\cos(\sqrt{x})$は$x\geqq0$で定義できる。
→$\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$
なので、
$\cos(\sqrt{x})=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{n}$である。
→右辺の冪級数の収束半径は$\infty$なので$\cos(\sqrt{x})$は実数全体で定義できる。
→$x\lt0$の部分はどこ行った!?

ってちょっと悩んだけど、$x$が負でも$\cos(\sqrt{x})$は実数になるのね…

問題作成にかかった時間が300分。一人当たり13分で解かれると仮定すると24人以上に解かれればペイできるので、マストドンに投稿しよう。
って考えたけど、このインスタンスに24人以上アクティブに活動してる人いなくね?と思い、消沈気味ではあるが、取り敢えずこの問題をここに供養しておく。

が正解です()

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