黒木玄 Gen Kuroki @genkuroki@mathtod.online

風邪ひいてお休みの連休。今日起きたら悪化していた。鼻が詰まって眠れない。

近況はこんな感じ。

何にもしてなくても健康なまま休めた人は勝ち組。

純粋数学的には、量子系の(準)古典近似の話は、「可換に近い非可換な場合を可換な場合で近似する」という話になっています。

物理そのものではなく、物理的な数学の方に興味があるなら、そういう理解の仕方をした方がアイデアの適用範囲が広がっていいかも。

微分作用素環は非可換ですが、かなり可換に近い環です。古典極限はcotangent bundleになる。

Lie環の普遍展開環 $U(\mathfrak{g})$ も可換に近い非可換環。古典極限は $\mathfrak{g}^*$ になる。

量子群も可換に近い非可換環。q→1で可換環になる。

個人的な意見では、以上のような話について、単に「抽象的ですごそうだから」という理由で興味を持ってしまうと、理解に至り難い経路に迷いこんでしまう可能性が高いので危険だと思います。よくできる学部生がよく迷い込んでいる。😅

最低でも長完全列のありがたみがわかるような具体的な状況を知ってから先に進むべきだと思います。

続き。特に$$
\operatorname{Ker}(M\otimes_R B\leftarrow M\otimes_R A)\\
\cong
\operatorname{Im}(M\otimes_R A\leftarrow\operatorname{Tor}^R_1(M,C))
$$となっている。

要するに、テンソル積によって単射が単射でなくなることによって出てくる非自明なkernelに関する分析は、テンソル積の拡張である $\operatorname{Tor}$ の理論として大幅にかつ徹底的に拡張されているということです。

さらに、より一般の函手によって失われた数学的に重要な情報を補完する導来函手の理論がホモロジー代数の名の下でよく整備されています。

そういう方向の抽象化は幾らでもすすめることができるので、自分に必要なレベルの抽象化を学べばよいと思います。適当な所で手を打たないと大変なことになる。😱

基本的なアイデアは「⊗やHomに代表される頻出の函手達はexactではなくて数学的に重要な情報を捨て去ってしまう」という問題の解決です。

続き～されています。$\operatorname{Tor}^R_0(M,\;\;)=M\otimes_R(\;\;)$ となっています。

この手の話題で基本的なのはlong exact sequenceです。
$$
0 \leftarrow C \leftarrow B \leftarrow A \leftarrow 0
$$がexactのとき、次のexact sequenceが得られる:$$
\begin{aligned}
0 &
\leftarrow M\otimes_R C
\leftarrow M\otimes_R B
\leftarrow M\otimes_R A
\\ &
\leftarrow \operatorname{Tor}^R_1(M,C)
\leftarrow \operatorname{Tor}^R_1(M,B)
\leftarrow \operatorname{Tor}^R_1(M,A)
\\ &
\leftarrow \operatorname{Tor}^R_2(M,C)
\leftarrow \cdots
\end{aligned}
$$

続く

適当な設定のもとで、テンソル積は右完全だが完全ではない。$$
0\to A\to B\to C\to 0
$$が完全($B/A\cong C$)であるとき$$
M\otimes_R A\to M\otimes_R B \to M\otimes_R C\to 0
$$は完全, すなわち$$
(M\otimes_R B)/(\operatorname{Im}:M\otimes_R A\to M\otimes_R B) \\ \cong M\otimes_R C
$$は一般に成立するが、$$
M\otimes_R A\to M\otimes_R B
$$は単射になるとは限らず、非自明なkernelが出て来るかもしれない。

こういう状況はホモロジー代数の出発点です。

上の状況は $M\otimes_R(\;\;)$ というfunctorについては、それだけを考えることは数学的に不十分であることを示唆しており、実際にそうで、 $M\otimes_R(\;\;)$ だけでは失われる情報を復活させる $\operatorname{Tor}^R_i(M,\;\;)$ という函手達が構成～続く

Jupyter notebookの類とよくあるスタイルのREPLの大きな違いは、前者ではあるセルの実行中に別のセルにコードを入力できることだと思う。

待ち時間に続きの仕事をできることは結構大事。

LuaTeXは正直ちょっと遅く感じた。

大体において、よく出会う級数の方がよく出会う積分より難しいことが多いと思う。級数を積分で表示できるとほっとする。

コンパクトRiemann面のRiemann-Rochの定理の証明は2段階に分かれていると思っておくと見易いかも。

第1段階：実質的に任意のコンパクトRiemann面が代数曲線になることを示す段階。

函数解析を使うのはこの第1の段階です。本質的にコンパクトRiemann面上に十分沢山の有理型函数が存在することを示すことになります。

コンパクトRiemann面は解析の言葉を使って定義されるので、そういうものが実は代数的に記述できるものになってしまうことを示すためには、どうしても解析の道具が必要になります。

第2段階：代数曲線に関するRiemann-Rochの定理を代数的に示す段階。

https://mathtod.online/@Sun_Pillar/101766551224069667

$$\cos^3(x)\exp\Big(\frac{x⁴+6x²}{12}\Big)-\frac{(1-x)^{x-1}}{(x+1)^{x+1}}$$のようなケースでべき級数展開を求めさせる問題を私は試験問題でよく出していました。(ここまで面倒なのは出さない。)

運悪く、地道に微分する方法で求めようとした人は時間を大量に消費してしまう。

もちろん普通は地道に微分したりしない。既知のべき級数展開を代入して $\operatorname{mod}{x^{N+1}}$ で計算する方が普通。

$(1+ax)^{g(x)}$ は対数を取って $g(x)\log(1+ax)$ の形にしてからべき級数展開し、$\exp$ を取る。二項展開するとはまる。

数式処理系を使って計算するときにも以上のような考え方は非常に有効。数式処理系を使っても時間が爆発することがよくある。

私の知り合いで数式処理系も上手に利用している人達は手で行う計算力もすごい。多分、計算が得意なので数式処理系の威力も理解できるのだと思う。

以下のURLを貼り付けると表示される画像があまりにも「あの契約しちゃいけないやつ」に似ていたので、やってしまった。

http://mhotta.hatenablog.com/entry/2014/04/05/094917

これ↓

https://twitter.com/genkuroki/status/1110599330165977088

$\alpha\in\mathbb{C}$ に対する $\mathbb{Q}(\alpha)$ の定義は $\mathbb{Q}$ のすべての要素と $\alpha$ を含む $\mathbb{C}$ の最小の部分体。体であることは定義に含まれている。

学生向けの簡単な練習問題としてよく出すのは $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ が $\mathbb{Q}$ の3次拡大になることの証明。

本質的には $x^3-2$ が $\sqrt[3]{2}$ の $\mathbb{Q}$ 上での最小多項式になることを示すだけの問題。

確率概念について結構重要なことは、人によって(より正確には持っている情報によって)確率が違っていてもよいことだと思います。

Aさんにサイコロを振ってもらう。1の目が出たことをAさんだけが知っているとする。

AさんはBさんだけに「奇数の目が出たよ」と教える。

Aさんは別にCさんだけに「4以下の目が出たよ」と教える。

Aさん、Bさん、Cさんのそれぞれにとって1の目が出た確率は1、1/2、2/3になる。それらは標準的ないつもの頻度論的な確率です。

面白いのは同じようなことが量子力学の解釈にもあって、人によって波動函数は違っていてもよい。これが標準的な量子力学の解釈。

そのことを知っていれば、シュレーディンガーの猫はパラドックスではなくなる。

学生時代からの友人の堀田さんに教えてもらった。

http://mhotta.hatenablog.com/entry/2014/04/05/094917

なぜかその手の話にはアリスとボブが常に出て来る(笑)。

「頻度論 vs. ベイジアン」という発想はベイズ統計の仕組みが数学的によくわかっていない暗黒時代の遺物。

赤池弘次さんは数学的仕組みが十分にわかっていない時代から、「頻度論vs.ベイズ主義」という図式自体が不毛だと言っていた。

https://ismrepo.ism.ac.jp/?action=pages_view_main&active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=32568&item_no=1&page_id=13&block_id=21

この辺についてクリアでない「確率の哲学」も遺物として捨て去って良いと思う。