Tetris 19ライン https://youtu.be/a0GzzIr-N_Q @YouTubeより
(正確にはテトリスではなく、ボンブリス(Bombliss)なんだが、)計算し尽くされた計画であり、物凄い奇跡でもある
とにかく素晴らしい
個人的な意見では、以上のような話について、単に「抽象的ですごそうだから」という理由で興味を持ってしまうと、理解に至り難い経路に迷いこんでしまう可能性が高いので危険だと思います。よくできる学部生がよく迷い込んでいる。😅
最低でも長完全列のありがたみがわかるような具体的な状況を知ってから先に進むべきだと思います。
続き。特に$$
\operatorname{Ker}(M\otimes_R B\leftarrow M\otimes_R A)\\
\cong
\operatorname{Im}(M\otimes_R A\leftarrow\operatorname{Tor}^R_1(M,C))
$$となっている。
要するに、テンソル積によって単射が単射でなくなることによって出てくる非自明なkernelに関する分析は、テンソル積の拡張である $\operatorname{Tor}$ の理論として大幅にかつ徹底的に拡張されているということです。
さらに、より一般の函手によって失われた数学的に重要な情報を補完する導来函手の理論がホモロジー代数の名の下でよく整備されています。
そういう方向の抽象化は幾らでもすすめることができるので、自分に必要なレベルの抽象化を学べばよいと思います。適当な所で手を打たないと大変なことになる。😱
基本的なアイデアは「⊗やHomに代表される頻出の函手達はexactではなくて数学的に重要な情報を捨て去ってしまう」という問題の解決です。
続き~されています。$\operatorname{Tor}^R_0(M,\;\;)=M\otimes_R(\;\;)$ となっています。
この手の話題で基本的なのはlong exact sequenceです。
$$
0 \leftarrow C \leftarrow B \leftarrow A \leftarrow 0
$$がexactのとき、次のexact sequenceが得られる:$$
\begin{aligned}
0 &
\leftarrow M\otimes_R C
\leftarrow M\otimes_R B
\leftarrow M\otimes_R A
\\ &
\leftarrow \operatorname{Tor}^R_1(M,C)
\leftarrow \operatorname{Tor}^R_1(M,B)
\leftarrow \operatorname{Tor}^R_1(M,A)
\\ &
\leftarrow \operatorname{Tor}^R_2(M,C)
\leftarrow \cdots
\end{aligned}
$$
続く
適当な設定のもとで、テンソル積は右完全だが完全ではない。$$
0\to A\to B\to C\to 0
$$が完全($B/A\cong C$)であるとき$$
M\otimes_R A\to M\otimes_R B \to M\otimes_R C\to 0
$$は完全, すなわち$$
(M\otimes_R B)/(\operatorname{Im}:M\otimes_R A\to M\otimes_R B) \\ \cong M\otimes_R C
$$は一般に成立するが、$$
M\otimes_R A\to M\otimes_R B
$$は単射になるとは限らず、非自明なkernelが出て来るかもしれない。
こういう状況はホモロジー代数の出発点です。
上の状況は $M\otimes_R(\;\;)$ というfunctorについては、それだけを考えることは数学的に不十分であることを示唆しており、実際にそうで、 $M\otimes_R(\;\;)$ だけでは失われる情報を復活させる $\operatorname{Tor}^R_i(M,\;\;)$ という函手達が構成~続く
\[ x^{-1}+y^{-1}=z^{-1} \] の正の整数解 $(x, y, z)$ のうちの $(x, y)$ を平面にプロットすると、点がたくさん乗っている直線 $x+y=k$ (傾き $-1$ )がたくさんあるように見えるけど、これ本当に一直線上?
といふのを確認するのが億劫で数年が過ぎた
メモ:iOS 向け Jupyter Notebook サーバの Carnets が長いベータ期間を抜けて App Store でリリースされた!
pip でパッケージを追加インストールすることも可能。Blink Shell など等同様に ios_system (この人が作者) を利用して外部コマンドをフレームワークとして内包し動的に呼び出している。
https://twitter.com/carnets_jupyter/status/1118517961403269121?s=12
@genkuroki @AS_Insects@mstdn.jp
$|\Psi〉=\frac{1}{\sqrt2}(|+〉_A|+〉_B -|-〉_A|-〉_B)$
◕ ‿‿ ◕
/人 人\
Alice Bob
https://mathtod.online/@Sun_Pillar/101766551224069667
$$\cos^3(x)\exp\Big(\frac{x⁴+6x²}{12}\Big)-\frac{(1-x)^{x-1}}{(x+1)^{x+1}}$$のようなケースでべき級数展開を求めさせる問題を私は試験問題でよく出していました。(ここまで面倒なのは出さない。)
運悪く、地道に微分する方法で求めようとした人は時間を大量に消費してしまう。
もちろん普通は地道に微分したりしない。既知のべき級数展開を代入して $\operatorname{mod}{x^{N+1}}$ で計算する方が普通。
$(1+ax)^{g(x)}$ は対数を取って $g(x)\log(1+ax)$ の形にしてからべき級数展開し、$\exp$ を取る。二項展開するとはまる。
数式処理系を使って計算するときにも以上のような考え方は非常に有効。数式処理系を使っても時間が爆発することがよくある。
私の知り合いで数式処理系も上手に利用している人達は手で行う計算力もすごい。多分、計算が得意なので数式処理系の威力も理解できるのだと思う。
以下のURLを貼り付けると表示される画像があまりにも「あの契約しちゃいけないやつ」に似ていたので、やってしまった。
http://mhotta.hatenablog.com/entry/2014/04/05/094917
これ↓
ひょー$8$次でやっと 0.015 ぐらい出てくるのかー。
$x=0$のまわりはほとんどべったり0ですね。
確率概念について結構重要なことは、人によって(より正確には持っている情報によって)確率が違っていてもよいことだと思います。
Aさんにサイコロを振ってもらう。1の目が出たことをAさんだけが知っているとする。
AさんはBさんだけに「奇数の目が出たよ」と教える。
Aさんは別にCさんだけに「4以下の目が出たよ」と教える。
Aさん、Bさん、Cさんのそれぞれにとって1の目が出た確率は1、1/2、2/3になる。それらは標準的ないつもの頻度論的な確率です。
面白いのは同じようなことが量子力学の解釈にもあって、人によって波動函数は違っていてもよい。これが標準的な量子力学の解釈。
そのことを知っていれば、シュレーディンガーの猫はパラドックスではなくなる。
学生時代からの友人の堀田さんに教えてもらった。
http://mhotta.hatenablog.com/entry/2014/04/05/094917
なぜかその手の話にはアリスとボブが常に出て来る(笑)。
「頻度論 vs. ベイジアン」という発想はベイズ統計の仕組みが数学的によくわかっていない暗黒時代の遺物。
赤池弘次さんは数学的仕組みが十分にわかっていない時代から、「頻度論vs.ベイズ主義」という図式自体が不毛だと言っていた。
この辺についてクリアでない「確率の哲学」も遺物として捨て去って良いと思う。