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コンパクトRiemann面のRiemann-Rochの定理の証明は2段階に分かれていると思っておくと見易いかも。

第1段階:実質的に任意のコンパクトRiemann面が代数曲線になることを示す段階。

函数解析を使うのはこの第1の段階です。本質的にコンパクトRiemann面上に十分沢山の有理型函数が存在することを示すことになります。

コンパクトRiemann面は解析の言葉を使って定義されるので、そういうものが実は代数的に記述できるものになってしまうことを示すためには、どうしても解析の道具が必要になります。

第2段階:代数曲線に関するRiemann-Rochの定理を代数的に示す段階。

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