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http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Cint_0%5E%E2%88%9E%20exp%28-%28x%2F2%29%28t%2B1%2Ft%29%29t%5E%7B-s-1%7D%20dt%20where%20x%3E0

$x >0$ のとき、\begin{align*}
&\int_0^∞ \exp\left(-\frac x2\left(t+\frac 1t\right)\right)t^{-s-1} dt\\
&=2K_s(x)
\end{align*}ここで、$K_s(x)$ は第2種変形Bessel函数。

http://mathworld.wolfram.com/ModifiedBesselFunctionoftheSecondKind.html

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Cint_%7B1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20e%5E%7B-t%7D%20t%20sqrt%28t%5E2-1%29%20dt%20where%20x%3E0

$$
\int_{1}^{\infty} e^{-t} t \sqrt{t^2-1} \,dt=K_2(1)
$$

Bessel函数の話の続き

https://mathtod.online/@genkuroki/172893
の話の再掲

https://mathtod.online/@shoken_921/172825

私は軟弱なので $1/(n!)^2$ の和についてWolframAlphaに聞いてしまいました。自力でやりたい人は見ない方がいいかも。

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Csum_%7Bn=0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B(x/2)%5E%7B2n%7D%7D%7B(n!)%5E2%7D

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Cint_0%5E%7B2%5Cpi%7Dcos(cos(t)+x)+dt

最近話題のBessel函数などを含む超幾何の合流一族の説明の方はちょっと面倒なのですが、ベータ函数の合流一族の解説は簡単。

ベータ函数からガンマ函数が以下の極限で得られる：$n\to\infty$ で\begin{align*}
&n^s B(s,n+1)\\
&=n^s \int_0^1 t^{s-1}(1-t)^n\,dt\\
&=\int_0^n x^{s-1}\left(1-\frac xn\right)^n\,dx\\
&\to\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx
=\Gamma(s).
\end{align*}$t=x/n$ とおいた。

この計算からガンマ函数の無限積表示も得られる。$B(s,n+1)$ に次を代入すればよい:$$
B(s,n+1)=\frac{n!}{s(s+1)\cdots(s+n)}.
$$

ガンマ函数からGauss積分が以下の極限で得られる：$n\to\infty$ で、\begin{align*}
&n^{-n-1/2}e^n\Gamma(n+1)\\
&=\int_{-\sqrt{n}}^\infty \left(1+\frac y{\sqrt{n}}\right)^n e^{-\sqrt{n}y}\,dy\\
&\to\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2/2}\,dy=\sqrt{2\pi}
\end{align*}$x=n+\sqrt{n}y=n(1+y/\sqrt{n})$ とおいた。

この計算は所謂スターリングの証明そのもの。

さらにガンマ分布の(したがってカイ二乗分布の)中心極限定理の証明にもなっている。

超幾何函数の一属より一段易しいベータ函数の一族でもすでにこんなに面白い。