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mathtod.online/@yajidasu/20543

$$
\int_0^\infty\sin(1/t^2)dt \\
=\frac{1}{2}\int_0^\infty x^{-3/2}\sin x\,dx
$$については、ひとめ見て「これはガンマ函数だ!」と思う必要がありあます。

ガンマ函数は指数=三角函数の $e^{-x}$ と $x^{s-1}$ の積の積分で、上の式もまさにそういう形をしています。

そこに気付けば簡単な複素解析で
$$
\int_0^\infty x^{s-1}\sin x\,dx \\
= \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(s)
$$を示せます。

これに $s=-1/2$ を代入すれば欲しい結果が得られる。

$\exp$ と $\sin$, $\cos$ は記号は違いますが、本質的に同じものです。

genkuroki.github.io/documents/

の8.6節または

mathtod.online/@genkuroki/1336

を参照して下さい。

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