以下のURLを貼り付けると表示される画像があまりにも「あの契約しちゃいけないやつ」に似ていたので、やってしまった。

mhotta.hatenablog.com/entry/20

これ↓

twitter.com/genkuroki/status/1

$B_1(x)=x-1/2$ を 0~1区間に制限したものを周期的に拡張して得られる周期函数(みんな知っているノコギリ波)のフーリエ展開は本質的にポアソンの和公式そのものになります。

それを通してオイラー・マクローリンの和公式とポアソンの和公式の関係を理解することができます。

この辺の話も普通に教科書に書いてあるべきなのですが、見つからない。

nbviewer.jupyter.org/github/ge mathtod.online/media/0LJLmb29Q

もしもベルヌイ多項式 $B_k(x)$ の $k$ を連続的に拡張できるなら、
$$
\zeta(1-s,x) = -\frac{B_s(x)}{s}
$$と書きたくなります。フルヴィッツのゼータの $-1$ 倍は
$$
\frac{B_k(x)}{k}=\int B_{k-1}(x)\,dx + C
$$の $k$ を連続的に拡張したものともみなせます。

一方、$\zeta(1-s,x)$ をポリログ $\operatorname{Li}_s(z)$ で書くフルヴィッツの函数等式があります。ポリログはフーリエ級数の形をしており、その公式の $s$ を0以上の整数に制限すればよく知られているベルヌイ多項式のフーリエ級数表示と同じ公式が得られます。

genkuroki.github.io/documents/

このようにベルヌイ多項式は本質的にフルヴィッツゼータであり、ゼータは基本的なのでベルヌイ多項式も基本的。

mathtod.online/media/-yfzl8OZK

mathtod.online/@tt/2060058

$$
\int \frac{dx}{x^4+1}
$$

は手計算で計算できる。高校3年生が計算力をつけるために一度やると良さそうな問題。すでに大学入試問題になっていたら教えて下さい。

添付画像は

genkuroki.github.io/documents/

の5.2節より。

mathtod.online/media/h4Sgwf545

念のために Windows + JuliaPro MKL + Plots + GR でGIF動画を作成できることも確認してみました。

問題なく作成できました。

誰か偉い人が Plots の GR バックエンドに手を入れると相当に使い易くなるような感じがします。

mathtod.online/media/F5niphL8w

Windows 8.1 + JuliaPro MKL で

using Plots
gr()
plot(sin)

したら正常に作画されました。

ただし、私のJuliaPro環境は色々いじってある。

JuliaPro環境はJuliaのパッケージのアップデートを防ぐ仕組みになっていて、それを解除して、新しいパッケージを入れています。

そこまでやるならJuliaProを使うべきだと思わないので、その手の作業の情報は公開していません。

JuliaProのパッケージを色々アップデートしようとしたら、

C:\JuliaProMKL-0.6.2.1\pkgs-0.6.2.1\v0.6\REQUEST

を編集しろというメッセージが出たのでそれに従いました。

mathtod.online/media/-i0xa4Mpe

でなら

using Distributions
using Plots
@ show d = Chisq(2)
@ show q = quantile(d, 0.95)
plot(x->pdf(d,x), 0.1, 10, label="pdf of d = Chisq($(d.ν))")
vline!([q], label="quantile(d, 0.95)", ls=:dash)

@ の後の空白は除く

という感じです。

gist.github.com/genkuroki/a6a6

mathtod.online/media/zHB4UabN8

数学では類似の結果が出る異なる場合を知っていることが大事。

$a_k = \exp(2\pi i k/6)$ とおくと$$
\sum_{k=1}^6 a_k^n
$$は添付画像のようになります。😁

mathtod.online/media/6bso6326X

mathtod.online/@gomisai/105093

では

using PyPlot
n = 1:20
m = mod.(1 .^ n + 2 .^ n + 3 .^ n + 4 .^ n + 5 .^ n + 6 .^ n + 7 .^ n, 7)
plot(n, m, marker="o")
xlabel("n")
ylabel("g(n)")

のように書けます。scilabからは簡単に移行できる。

mathtod.online/media/bCoQ9vuG_

添付画像は一般化された場合の箙(えびら、quiver)の例です。

箙の情報を数値化するには、よく反対称化可能整数行列が使われます。その定義は「成分が整数の正方行列である正の整数を対角成分とする対角行列を左からかけると反対称になるもの」です。特に整数を成分とする反対称行列は例になっています。

添付図の丸の中の数は反対称化に使われる対角行列の成分で、丸$j$から丸$i$への$a$重の矢線は反対称化によって得られた反対称行列の $(i,j)$ 成分が $a$ であることを意味しています。

反対称化可能整数行列に対して、その全ての成分をその絶対値に置き換えたものを $2E$ から引いて得られる行列が一般Cartan行列の定義に一致。

「この手の整数行列達はある種の図形達から得られ、その図形達は数学の広い分野に現れる」とだけ覚えておけば引っかかる情報が増えると思います。

mathtod.online/media/eH-WyIGzm

丸を線で結んだ図形(の一般化)の線を矢線に変えた図形を箙(中事案啓さんによるquiverの翻訳、えびらと読む)と呼びます。エビラについては添付画像も参照(笑)。

箙に対しては、矢線の向きの情報も利用でき、さらに様々な基本的な数学的対象を定義することができます。

例えば、クラスター代数とその変種達(量子化への拡張やフリーズパターンへの特殊化)は箙情報を与えるごとに定義されます。

クラスター代数の特殊化であるフリーズパターンに関する詳しい解説(高校生に配ったもの)が次のリンク先にあります。

genkuroki.github.io/documents/

genkuroki.github.io/documents/

mathtod.online/media/JMWzJsFvI

一般化された図形の例は添付画像。添付画像は

mathtod.online/@genkuroki/2040

より。この手の図形に対してLie代数を対応させる方法を天下り的に説明するのは易しいです。難しいのはそんなことをして何がうれしいかの説明。

添付画像は対応するLie代数が有限次元になる場合です。図形が複雑になると対応するLie代数は通常無限次元になり、制御が非常に難しくなる。

図形をそのまま扱うのは大変なので、通常、図形の情報を(対称化可能)一般Cartan行列 $A=[a_{ij}]$ に翻訳して扱います。$A_n$ 型の図形に対応する(一般)Cartan行列は本質的に離散線分状の離散Laplacianになります。$A_n$ 型の図形に対応するLie代数はトレースが0の行列全体で構成される $\mathrm{sl}(n+1)$ になります。

mathtod.online/media/YQIgbfoDB

どうせ、オリジナルのJupyter notebook は再ダウンロードできるので、あちこちクリックして大胆に色々試してみた方が、使い方を早く習得できると思います。びびって何もしないと苦しくなる。

何もわからない場合に最初にクリックするべきなのはHelpボタン。

適当に探せば、セルの実行のためのショートカットが何であるかがわかります。

mathtod.online/media/S40Fut9Lv
mathtod.online/media/UasbyttxB

mathtod.online/@satie/914452

Jupyter notebookの使い方

* 各セルを実行するには、マウスでクリックして選択した後に Shift+Enter もしくは Ctrl+Enter とする。Shift+Enter で次のセルに進み、Ctrl+Enter で次のセルに進まずに実行。

* ライブラリの読み込みや函数の定義などのセルは最初に実行しておく。

* 私はダウンロードした Jupyter notebook は内容をざっと確認して危険がないことを確認した後に、すべてを実行して、正常に動くかどうかを確認します。

* セルの複製はハサミボタンの右のボタンをクリック→さらにその右のボタンをクリック。セルを書き変える前に常にそのセルの複製を作っておく癖をつけておくと色々安全。

* 適当にあちこちクリックして試してみることが基本。ノートブックを壊してもネット上にオリジナルがあるので困らない。

mathtod.online/media/iVMBnoC9K

nbviewer.jupyter.org/gist/genk
に新たに付け加わったプロットの例。

ベイズ自由エネルギーBFEとWBICによるモデル選択はほぼ一致している。

WBICのプロットとBFE(Beyesian Free Energy)のプロットの形もほぼ同じになっている。

mathtod.online/media/FBRTK7uHv

nbviewer.jupyter.org/gist/genk
に新たに付け加わったプロットの例。

サンプルを分散を1に固定した正規分布で生成したときの、分散を1に固定したprior_0と固定しない場合のprior_1の比較。

KL情報量KL(真の予測誤差)が小さい方の事前分布の方が予測精度が高い。

分散を1に決め打ちしたprior_0を採用している法が予測精度がおおむね高い。

真の予測誤差KL(これは観測可能量だけから計算できない)とWAIC(これは観測可能量だけから計算できる)によるモデル選択は、それらが逆相関していることが原因で、違いが出る場合がある。違いが出ている場合はWAICが間違っているということ。

同じ色の部分が対応。黄色とcyanの部分でWAICが正しいモデル選択に失敗している。

mathtod.online/media/5xOap4t1X

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