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ひさびさに来ました。

最近、xelatex を使ってみました。

その理由はJulia言語カーネルのJupyterノートブックを日本語LaTeXに変換してPDFに変換するために使ったWeave.jlで使われていたから。

以下のリンク先に資料があります。

github.com/genkuroki/msfd28/tr

hyperrefのリンクの枠が小さすぎて困ってたけど,これは
$ dvipdfmx -g 1pt hoge.dvi
などとオプション引数を指定すれば解決できるようだ(pdfborderstyleで枠を下線に変えてしまう方が楽ではあるが).

数値実験でAICやWAICと汎化誤差を比較するときの注意点については

twitter.com/genkuroki/status/1

で詳しく解説しておきました。

モデル選択は、渡辺澄夫さんの本を読んで汎化誤差とWAICの定義を抜き出して(証明を読まなければ容易)、コンピューターでWAICによるモデル選択がどのように失敗するかを確認すると雰囲気がすぐにわかります。

WBICの論文も見てWBICも実装して比較するとさらに良いです。

1次元正規分布モデルとその共役事前分布(正規ガンマ分布)の場合に、WAICやWBICのexact formulaeを書き下して、それらを行った事例が次の場所にあります。

nbviewer.jupyter.org/gist/genk

混合正規分布モデルをMCMCで数値的に解いて同じようなこともやっています。

nbviewer.jupyter.org/gist/genk

百聞は一見に如かずです。

渡辺澄夫さんも強調しているように、使うだけなら簡単です。

ただし、WAICなどがモデル選択にどのように失敗するかは知っておく必要があると思う。

やべぇ技術だこれ
github.com/SPRITZ-Research-Gro

マイクロフォンを通したタイプ音でどのキーを押したかリアルタイムで推定する
タイプストロークの学習データは必要みたいだが

今日明日(2018/10/27-28)は「第11回関西すうがく徒のつどい」

kansaimath.tenasaku.com/?page_

だそうです。
僕は残念ながら参加できませんが、Twitter では で実況が行われるようです。

べ、別に Mathtodon も実況に使ってくれてもいいんだからねっ

まとめ:フルヴィッツのゼータ函数は本質的にベルヌイ多項式の母函数(の $t$ を $-t$ で置き換えたもの)のメリン変換。リーマンのゼータ函数は $x=1$ と置いた場合。

$B(x,t)$ ではなく、
$$
B(x,-t) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k B_k(x)\frac{t^k}{k!}
$$ になっている点が気になる人もいるかもしれませんが、$\zeta(-k,x)$ の計算時には、
$$
\frac{1}{\Gamma(s)(s+k)}=\frac{s(s+1)\cdots(s+k-1)}{\Gamma(s+k+1)}
$$が $s=-k$ のとき $(-1)^k k!$ になって、$(-1)^{k+1}B_{k+1}(x)/(k+1)!$ との積で $-B_{k+1}(x)/(k+1)$ が残る仕組みになっています。

この辺は他人の話を聞いても納得できる類の話じゃなくて、全部自分で計算すればわかる話です。

ベルヌイ多項式の母函数
$$
B(x,t) = \frac{te^{xt}}{e^t-1}
$$とフルヴィッツゼータ
$$
\zeta(s,x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(x+k)^s}
$$の関係は、後者に
$$
\frac{1}{(x+k)^s} = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty e^{-(x+k)t}t^{s-1}\,dt
$$を代入して、無限和と積分を交換すえればわかります。
$$
\zeta(s,x)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty \frac{e^{-xt}t^{s-1}\,dt}{1-e^{-t}}
\\ =
\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty\frac{-te^{x(-t)}}{e^{-t}-1}t^{t-2}\,dt
\\ =
\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty B(x,-t)t^{s-2}\,dt.
$$
注意: $B(x,-t)=B(1-x,t)$ の右辺を使ってもよい。

健康な者が根性を出せば確率微分方程式が解けるという主張をファインマン・ガッツの公式と呼ぶ

ベルヌイ多項式に関する二項定理は「自明である」という認識は大事です。20世紀的な抽象数学のチカラによって自明になっている。

多項式全体の空間の線形自己同型
$$
f(x)\mapsto \int_0^1 f(x+y)\,dy
$$が平行移動 $f(x)\mapsto f(x+a)$ と可換なことから、ベルヌイ多項式の二項定理は自明になる。$B_k(x)$ はこの線形自己同型による $x_k$ の逆像。

線形代数から始まる抽象代数では、線形写像、同型写像、準同型写像、などなどが基本的な役割を果たします。

そういう抽象的な考え方は、具体的な公式の証明を瞬殺するためによく使われています。

圏論まで抽象化しても同じことが言えます。

そして、逆に、どれだけ難しい公式の証明に役に立ったかを見て、初めて「その抽象化にどの程度の価値があるか」も広く認識されることになる。

数学の専門家のあいだでは、全部の抽象化に十分な価値があるわけではないと考える人の方が多いと思う。

良い抽象化を見付けるためには膨大な試行錯誤が必要。

@genkuroki
私も累乗和の観点から一般化してみたのですが、いかがでしょうか。

$n$項の累乗和 $\displaystyle\sum_{k=x}^{n+x-1}k^N$ の展開係数
$\displaystyle B_n(x)=x^n-\frac1{n+1}\sum_{j=0}^{n-1}{}_{n+1}C_jB_j(x)$

Riemannゼータの負の整数での特殊値がベルヌイ数になることは高尚な話に見えてしまいがちですが、Hurwitzゼータにそれを拡張した途端に

$\Large\text{高校数学での冪乗和の公式を}\\\Large\text{やり直しているだけの易しい話}$

に見えて来るのはちょっと不思議な感じ。

高校でもフルヴィッツゼータについて教えた方がいいかもしれませんね。😝

フルヴィッツのゼータ $\zeta(-k,x)$ の $-1$ 倍が本質的に冪乗和を意味する
$$
\frac{B_{k+1}(x)}{k+1}=\int B_k(x)\,dx+C
$$に一致することは、
$$
\zeta(-k,x)=x^k+(x+1)^k+(x+2)^k+\cdots
$$であることから、
$$
\zeta(-k,x)-\zeta(-k,x+n)\\=x^k+(x+1)^k+\cdots+(x+n-1)^k
$$となることを見れば当然に見えるようになります。これの右辺は
$$
-\frac{B_{k+1}(x)}{k+1} -\left(-\frac{B_{k+1}(x+n)}{k+1}\right)
$$に当然一致する。これを $n$ の多項式とみたときの係数はベルヌイ多項式に関する既出の二項定理
$$
B_n(x+a)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}B_k(x)a^{n-k}
$$から得られます。

以上の議論はRiemannゼータだけを見ても見えて来ないです。パラメータ $x$ を増やしてHurwitzゼータを考えたことが本質的。

若いときには最新の話題ばかりに目が向いて古典的で基礎的な話題に疎くなってしまう危険性があります。

私が若いときには、年上の人達に古典的話題の基礎的な事柄についてよく教わりました。
昔のwell-knownな話も結構大事。

$B_1(x)=x-1/2$ を 0~1区間に制限したものを周期的に拡張して得られる周期函数(みんな知っているノコギリ波)のフーリエ展開は本質的にポアソンの和公式そのものになります。

それを通してオイラー・マクローリンの和公式とポアソンの和公式の関係を理解することができます。

この辺の話も普通に教科書に書いてあるべきなのですが、見つからない。

nbviewer.jupyter.org/github/ge mathtod.online/media/0LJLmb29Q

もしもベルヌイ多項式 $B_k(x)$ の $k$ を連続的に拡張できるなら、
$$
\zeta(1-s,x) = -\frac{B_s(x)}{s}
$$と書きたくなります。フルヴィッツのゼータの $-1$ 倍は
$$
\frac{B_k(x)}{k}=\int B_{k-1}(x)\,dx + C
$$の $k$ を連続的に拡張したものともみなせます。

一方、$\zeta(1-s,x)$ をポリログ $\operatorname{Li}_s(z)$ で書くフルヴィッツの函数等式があります。ポリログはフーリエ級数の形をしており、その公式の $s$ を0以上の整数に制限すればよく知られているベルヌイ多項式のフーリエ級数表示と同じ公式が得られます。

genkuroki.github.io/documents/

このようにベルヌイ多項式は本質的にフルヴィッツゼータであり、ゼータは基本的なのでベルヌイ多項式も基本的。

mathtod.online/media/-yfzl8OZK

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