Iwao KIMURA @iwaokimura@mathtod.online

数学だとポスターを貼る機会ってあんまりないですよね．たまに必要になると，beamerposter https://ctan.org/pkg/beamerposter を使います．Beamerでポスターを作れる．

このクリスマスはadvent calendarに参加できずじまい．それどころか読むのも追いついていない．
昨年は↓を書きました：
https://share.cocalc.com/share/035377df-f9bd-4d9f-afd7-c47305d887a8/resdiary/20171211/advent.ipynb?viewer=share

正方形の膜の振動のシミュレーション，cocalc でのjupyter notebookをshareします（twitterとかぶっていてすみません）．
https://cocalc.com/share/0837abef-809b-43ec-b15d-fcbdeb409266/2018-08-18-wave-eqns.ipynb?viewer=share

https://mathtod.online/media/lYO54Fe1WplGBF8MBjQ

Mathtodon賑わっているようで何よりです!

つまり，位相が入った群$G$で，各$g\in G$ごとに$l_g$, $r_g$が同相写像，さらに$\iota$も同相だとしても，積$\mu$が連続とは限らない．
具体例は永田先生の本の同個所を見てもらうことに．もし積が連続になれば$G$は位相群になり，位相群はHausdorff空間になる．なので，$G$の例としては$T_1$など開集合の少ないものから作ります．

見逃しがちな条件を見逃したまま書いてしまった数学的な主張，が，嘘数学，という名前でtwitterの一部のTLを賑わせていますが :)
たまたま見ていた，永田先生の「可換体論」に，次のような例がありました．$G$を位相群とすると，積$\mu\colon G\times G\to G$は連続．$g\in G$を固定すると，$l_g\colon G\ni a\mapsto ga\in G$や$r_g\colon G\ni a\mapsto ag \in G$, $\iota\colon G \ni a\mapsto a^{-1} \in G$は同相写像．
しかし，この逆は成り立たない．（IV章「付値」の § 4.4, 位相群，位相体，p.162--163）．

しかし，はじめから，例えばモジュラー曲線の整モデルのreduction mod $p$の上で考えると，Hecke作用素（対応）がコホモロジーに引き起こすendomorphismの跡は計算できても，その値にどのくらいどのように類数のような量の寄与があるのかが分からなくなってしまい，どうにもならない．
難しいものです．

実際に使うのは，跡公式のmod $p$版なのではないか？mod $p$版の跡公式なら，もっと違う対象にも証明できて，それを使って類数以外の重要な量や，虚2次体以外の代数体の族に対しても，類数の非可除性を示せないか？という個人的なドリームがありますが......．

範囲をだんだん広げながら，その前の議論ではカバーされないところに，もう一つ$p$で割り切れない類数を持つ虚2次体が存在することを言う．
こう言う感じで，無数に存在することを示す．

虚2次体の類数の非可除性を議論するときに，類数関係式・正則保形形式の空間に作用するHecke作用素の跡公式が有用なことはよく知られています．
大体の感じを言うと，奇素数$p$を固定して，$p$で類数が割り切れない虚2次体が無数にあることを示したい．
どうするかというと，ある範囲の判別式について虚2次体の類数を足し上げると，約数の冪和関数の値になり，その値が$p$で割り切れないことをみる．すると，その範囲の判別式を持つ虚2次体の中に，類数が$p$で割り切れないものが少なくとも1つ存在する．

学会で，MathJaxやMathtodonの宣伝をしてます :)

Mathtodonで数式が使えるdemonstration：
$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$.
$$\zeta(s) = \prod_{p}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)^{-1}.$$
いずれも$\Re(s)>1$.
MathJax.

想定していたのは，虚2次体$\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$でイデアル類群のodd partが巡回群でない最小の$d$が3299, です．$\mathbb{Q}(\sqrt{-3299})$の類数は27で，イデアル類群は位数9の巡回群と位数3の巡回群の積$C_9\times C_3$です．
虚2次体のイデアル類群の$p$-Sylow群が巡回群でないのは比較的珍しく，どの程度の頻度でそういうものが現れるか，についての予想がCohen-Lenstra heuristicsという名前で知られています．

昨年夏のノートの端っこに3299と書き付けてあった．この数字に見覚えのある方，いらっしゃいますか？ :) （私にはなじみ深い数字なのですが）．

Sagemath/Cocalc のイントロみたいなものを書きました：
https://cocalc.com/share/035377df-f9bd-4d9f-afd7-c47305d887a8/resdiary/20171211/advent.ipynb?viewer=share
「数学とコンピュータ」というアドベントカレンダー（↓）への寄稿です．
https://qiita.com/advent-calendar/2017/math-and-computer
この時期はいろんな記事が見られて楽しいですね．いろんな時候の催しにあわせてアドベントカレンダーができたらいいかも :)

qiitaの練習がてら，ein（Emacs上のJupyter/IPython client）でLaTeXの数式部分をしかるべく表示させる件について短いものを書きました：
https://qiita.com/iwaokimura/items/3136a0ac9a2bd1f9e926