思い立って作成中のプログラムのニュートン法\[x^{(n+1)}=x^{(n)}-J_f(x^{(n)})^{-1}f(x^{(n)})\]を簡易ニュートン法\[x^{(n+1)}=x^{(n)}-J_f(x^{(0)})^{-1}f(x^{(n)})\]に変えたら計算時間が6.1倍に伸びました。ループ回数が6回から103回に増えています。ヤコビ行列の再計算を省くことによる計算時間の短縮を収束の遅さが食いつぶしていることがよくわかります。

ニュートン法と簡易ニュートン法をスイッチで切り替えられるようにしておきます。ついでにニュートン法と簡易ニュートン法の折衷も入れるかどうかは未定です。

Encyclopedia of Triangle Centers に、ついに座標を表す式にlogが出現する心が登録されました。X(40297)からX(40305)までです。たとえば、X(40297) = INFINITE POINT ON THE LINE TANGENT TO THE POWER CURVE AT X(1) の重心座標は\[ac\log(a/c)+ab\log(a/b) :\dots:\cdots\]となっています。faculty.evansville.edu/ck6/enc

Encyclopedia of Triangle Centers faculty.evansville.edu/ck6/enc に登録された心が四万個を超えました。最新の登録は X(40218) = X(9)-HODPIECE OF X(44) 重心座標 \[(2a-b-c)(a+b-c)(a-b+c)(a^3-a^2b-ab^2+b^3+2abc-ac^2-bc^2)(a^3-ab^2-a^2c+2abc-b^2c-ac^2+c^3):\;:\;\] です。

重心と外心を結ぶ直線はオイラー線と呼ばれています。オイラー線上には垂心や九点円の中心があります。重心と内心を結ぶ直線はナーゲル線と呼ばれています。ナーゲル線上にはシュピーカー心やナーゲル点があります。

この辺りをまとめた表が最近公開されました。便利です。
faculty.evansville.edu/ck6/enc

数学セミナー「エレガントな解答をもとむ」2020年2月号出題同5月号解答出題1問1の正解はドロンシャン点(重心座標$−3a^4+2a^2(b^2+c^2)+(b^2−c^2):\cdots:\cdots$)でした。私も出題時にごりごり計算して結論は得ていたのですが、エレガントでないし、同じ方針の解答を出題者も用意しているだろうと考えて提出しませんでした。

解答編を読むと、出題者の一松信先生もおそらく同じ解法を用意されているようですが、誌面には掲載されませんでした。今からでも私のをどこかに載せましょうか?

この一連の研究,すごく面白いですね.
佐藤宏孝・花薗悟「数学における動詞「○○」の意味・用法 : 「気づかない」専門日本語語彙」(計5本あります)
repository.tufs.ac.jp/simple-s

第一不完全性定理を「正しいが証明できない文がある」と理解すると、$\mathbb{N}\not\vDash T$ である理論$T$に第一不完全性定理を適用するときに混乱します。

アフィン変換\[\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}\]は\[\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&b_1\\a_{21}&a_{22}&b_2\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\1\end{pmatrix}\]と書けますので。
twitter.com/y_bonten/status/11

これに対処する方法は、主に二つ知られています。

【付値】解釈の引数に$\rho:\operatorname{Var}\to\lvert\mathscr{I}\rvert$を追加して、\[\mathscr{I}[\![\forall x\,\varphi]\!]\rho=\prod_{d\in\lvert\mathscr{I}\rvert}\mathscr{I}[\![\varphi]\!]\rho[x:=d]\]で定義する。

【名前】各$d\in\lvert\mathscr{I}\rvert$に対して定数記号$\underline{d}$を追加して言語を拡張し、\[\mathscr{I}[\![\forall x\,\varphi]\!]=\prod_{d\in\lvert\mathscr{I}\rvert}\mathscr{I}[\![\varphi[x:=\underline{d}]]\!]\]で定義する。

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$\forall x\,\varphi(x)$の直観的な意味は、「$x$の動く範囲の任意の$d$について$\varphi(d)$が成り立つ」です。そこで、構造$\mathscr{I}$における$\forall x\,\varphi$の解釈を\[\mathscr{I}[\![\forall x\,\varphi]\!]=\prod_{d\in\lvert\mathscr{I}\rvert}\mathscr{I}[\![\varphi[x:=d]]\!]\]で定義しようとしてもできません。構文空間に属する対象$x$に意味空間に属する対象$d$を代入できないからです。

半径$R$の天体の高度$h$からの地平線までの距離の近似式$\sqrt{2hR}$に広島原爆の爆発高度を放り込むと、約$80\,\mathrm{km}$と出てきます。現在の庄原市あたりまでは閃光が見えていた計算になります。

【速報】工学部をもつ複数の大学は、標準化推進の一環として、2020年度入学試験より数学および理科の答案では JIS Z 8201 数学記号 および JIS Z 8202 量及び単位 に準拠した数式のみを正解と認め、そうでないものは減点対象とすると、発表しました。

三角形の角の二等分線に関する有名な定理の証明:
$\triangle ABC$の$\angle A$の二等分線と辺$BC$の交点を$D$とする。$\triangle ABD$に正弦定理を適用すると\[\frac{\lvert AB\rvert}{\sin\angle ADB}=\frac{\lvert BD\rvert}{\sin(A/2)}\]が成り立つ。$\triangle ACD$に正弦定理を適用すると\[\frac{\lvert AC\rvert}{\sin\angle ADC}=\frac{\lvert CD\rvert}{\sin(A/2)}\]が成り立つ。\[\angle ADB+\angle ADC=\pi\]であることから、\[\sin\angle ADB=\sin\angle ADC\]が成り立つ。以上から、\[\lvert AB\rvert:\lvert AC\rvert=\lvert BD\rvert:\lvert CD\rvert\]を得る。

tertium non datur\[\dfrac{\overset{\displaystyle[\varphi]}\psi\qquad\overset{\displaystyle[\neg\varphi]}{\psi}}{\psi}\]

law of excluded middle + $\vee$-elimination\[\dfrac{\varphi\vee\neg\varphi\qquad\overset{\displaystyle[\varphi]_1}\psi\qquad\overset{\displaystyle[\neg\varphi]_1}{\psi}}{\psi}{\scriptstyle1}\]

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推論規則の形で書くと対比しやすい。

reductio ad absurdum\[\dfrac{\overset{\displaystyle[\neg\varphi]}{\bot}}{\varphi}\]
tertium non datur\[\dfrac{\overset{\displaystyle[\varphi]}\psi\qquad\overset{\displaystyle[\neg\varphi]}{\psi}}{\psi}\]

そういえば、戸次『数理論理学』 utp.or.jp/book/b306383.html では $\varphi\vee\neg\varphi$ を law of excluded middle と呼び、$(\varphi\to\psi)\to(\neg\varphi\to\psi)\to\psi$ を tertium non datur と呼んでいるのでした。

一般連続体仮説は、\[\forall\alpha\in\mathbf{On}\;\aleph_\alpha=\beth_\alpha\]ですからね。

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一般連続体仮説の定義が間違っています。nemlog.nem.social/blog/13984

正しい定義に直せというのは、演習問題として良さそうです。

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