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正接から四分角の正接を計算するプログラムを5通りに書いて見ました。要するに $f(t)=\tan((1/4)\arctan t)$ の実装です。
1. 標準ライブラリのtanとatanを使って実装
2. $f$のマクローリン展開を実装
3. 余接の半角公式 $\cot(\theta/2)=\cot\theta+\sqrt{1+\cot^2\theta}$ を二回適用して実装
4. 正接の4倍角公式 $\tan4A=\dfrac{4\tan A-4\tan^3A}{\tan^4A-6\tan^2A+1}$ に二分法を適用して実装
5. 正接の4倍角公式にニュートン法を適用して実装

二分法以外はそこそこ速いプログラムになりました。

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