複素平面で任意の一次変換を表現したければ、実数 $a,b,c,d$ に対して
\begin{align*}
&\alpha=\frac{a-ib+ic+d}{2},\\
&\beta=\frac{a+ib+ic-d}{2}
\end{align*}と置いて
\[
z\mapsto\alpha z+\beta \bar z
\]を考えればよい。これはちょうど行列
\[
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{bmatrix}
\]に対応する一次変換の表現になっている。複素平面で表現された一次変換の固有値・固有ベクトル問題の複素数を使った解法も考えることができる。興味のある人はやってみるといいかも。

Twitter→Mastodonお手軽連携サービスはこれ t.co/5IolAuScq4 これリプライが連携対象外になるんだよね。や、妥当なんだけど、自分へのリプライまで連携対象外になっちゃうんだよねー

$\LaTeX$でミスしがちな人は、こちらで下書きするというのはいかがでしょうか。
draft.textfile.org/math/

(つづき)

よって, $R(A) = L(A)$ であり, 右逆元と左逆元は常に一致する. したがって,これを

\[
I(A) := \left\{ A \text{の逆元全体} \right\}
\]

とかき, 意味を持たせることができる.

さらに, $\forall X_1, X_2 \in I(A)$ に対して,

\begin{align}
X_1 &= EX_1\\
&= (X_2A)E\\
&= X_2(AX_1)\\
&= X_2E\\
&= X_2
\end{align}

であるから,

\[
X_1 = X_2.
\]

i.e. $I(A)$ はただ1つの元からなる集合であるため, 逆元は存在すれば一意であることが示された. この元を

\[
A^{-1}
\]

とかき,

\[
A \text{の逆行列}
\]

と呼ぶ.

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{\bf $GL(n, {\mathbb R})$ における乗法逆元が存在すれば一意であることの証明.}

$A \in GL(n, {\mathbb R})$ に対し,

\begin{align}
R(A) &:= \left\{X \in GL(n, {\mathbb R}) \mid AX = E\right\} :\text{右逆元全体の集合},\\
L(A) &:= \left\{Y \in GL(n, {\mathbb R}) \mid YA = E\right\}: \text{左逆元全体の集合}
\end{align}

とする. ここで $E$ は乗法単位元.

i.e. $\forall A \in GL(n, {\mathbb R}),
AE = A = EA$.

今, $X \in R, Y \in R$ を各々1つずつ任意にとって固定すると,

\begin{align}
X &= EX\\
&= (YA)X\\
&= Y(AX)\\
&= YE\\
&= Y
\end{align}

であるから,

\[
X = Y.
\]

数式とLaTeX談義も楽しいし、いわゆる理科系の本格的(?)話題が取り上げられはじめて、このインスタンスは楽園化しつつある。
分化するのもいいが、種々の話題を広く議論できるのもまたいいですね(*^^*)

Mathtodonだと @genkuroki 先生の数学tootがめちゃんこ読みやすい……。いつもの黒木先生の有用な解説がちゃんときれいな数式で読めるだけでさらに読みやすくなるなんて……

横長の数式が横スクロールできるようにしたことによって、ついでに縦方向にも「ちょっと動く」ようになってしまっていた不具合を直しました。触っても縦方向にはびくともしなくなりました。CSSなのでブラウザリロードが必要です。

\[
f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots + a_d x^d
\]

Mathtodonのみなさん、$\LaTeX$には様々なコマンドが用意されていますが、それらには推奨される用法や、逆に推奨されない用法があります。また、検索等でヒットする情報の中には、既に古くなってしまっているものも少なくありません。例えば、集合の内包表記に用いる縦棒として、キーボードから直接入力した「|」を用いるのは好ましくありません。「\mid」を用いれば、間隔が適切に設定されます。
\[ \{ x \in X | f(x) = 0 \} \]
は推奨されず、
\[ \{ x \in X \mid f(x) = 0 \} \]
が推奨されます。

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$

ですね(訂正)

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■日本数学会「数学通信」第1巻第3号
mathsoc.jp/publication/tushin/

より

⚫「楕円関数論から見た初等超越関数論(渡辺公夫氏)」
mathsoc.jp/publication/tushin/

にも

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}$

や級数に依らない三角関数の導出の説明がありますね

にならない説明

$(x(t),y(t))=(\sqrt{1-t^2},t)$ とおくと、円弧の長さで測った角度 $\theta=\int_0^y \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt$ は $\theta=\int_0^y \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$ と表わされます。高1での三角関数の導入の仕方によれば、これの逆函数が $y=\sin\theta$ です。

$\cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}$ と逆函数の導函数を使えば、$d\sin\theta/d\theta=dy/\theta=\sqrt{1-y^2}=\cos\theta$.

このように $\sin$ の定義からその導函数が直接出て来ます。

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ を経由するのはひどい遠回りです。

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