$1$~$6$ の整数和:$21$
$1$~$66$ の整数和:$2211$
$1$~$666$ の整数和:$222111$
$1$~$6666$ の整数和:$22221111$
$1$~$66666$ の整数和:$2222211111$

$6$ 以外で試すと、惜しい場合もあるのですがここまで綺麗には並んでくれない不思議?(´・_・`)

十進数以外ではどうなのかも併せて調べてみました。

mathtod.online/media/Su8sWNLww

でもy=0とかx=0での零点が2つずつ二重根とわかっているならこの4点を結ぶ直線で対角(=x軸とy軸)になることはあり得ないからあとは被りを数える話になるんか
それだけならx=-1(y=0としたときの0点でないとわかっている場所)とかで切って4本あることを確認すれば終わりそう(重根を持たないことは微分すればわかるのでx=-1を入れたあとに因数分解する必要はない)

自分は「直線だから軸との交点求めれば一意に決まるじゃん、おもしれえ」と思って計算したら解が2つずつ出てきて「なんやねんこれ」ってなった

たしかに問題文に不備はあるんだけど、「クソ問」で断じるには勿体無いほどの光るものをこの問題から感じるので、どうにかして改題できないかと考えるなどしている

あ、$ap+bq+c=0$を満たす$(p,q)$と$r,s>0$で$(ax+by+c)^2(r(x-p)^2+s(y-q)^2)=0$と因数分解される場合を抜かしていた。

高崎経済大の4次式を因数分解する問題、「直線のグラフ」じゃなくて「何本かの直線のグラフ」じゃないと嘘を言ってるよね。
問題分を信じるのであれば、$(ax+by+c)^4=0$か$(ax+by+c)^2(\text{$x,y$が実数なら非負になる二次式})=0$にならなきゃいけないはず。
「大きな感動」よりも「もやもや」が得られる。

\begin{align*}
&
\dfrac{\partial}{\partial t}
(
(\cos t)^{2-p} (\sin t)^{p} \\
&\quad+
(\sin t)^{2-p} (\cos t)^{p} )\\
=&
-(2-p) (\cos t)^{1-p} (\sin t)^{p+1} \\
&+p(\cos t)^{3-p} (\sin t)^{p-1} \\
&+(2-p) (\sin t)^{1-p} (\cos t)^{p+1} \\
&-p(\sin t)^{3-p} (\cos t)^{p-1}
\end{align*}

Let $p^{-1}+q^{-1}=1$
$q-p=q-\dfrac{q}{q-1}$
\begin{align*}
&
\dfrac{(\cos \theta)^{2-p} (\sin \theta)^{p}}{(\cos \theta)^{2-q} (\sin \theta)^{q}} \\
=&
(\cos \theta)^{q-p}
(\sin \theta)^{p-q}
\end{align*}

\begin{align*}
&
\partial_{x} \ln H(x,p) \\
=&
\dfrac{p+1}{x}
-\dfrac{p+1}{x(1+x^p)}\\
&-\dfrac{p-1}{x}
+\dfrac{p-1}{x(1+x^{p(p-1)})}
\end{align*}
\begin{align*}
&\partial_{x}^{2} \ln H(x,p) \\
=&-\dfrac{p+1}{x^{2}}
+\dfrac{(p+1)(1+(p+1)x^{p})}
{x^{2}(1+x^{p})^{2}} \\
&+\dfrac{p-1}{x^2}
-\dfrac{(p-1)(1+(p^2-p+1)x^{p(p-1)})}{x^2 (1 + x^{p(p-1)})^2}
\end{align*}

$F(x)=\ln f(x)$
とするとき
\begin{align*}
f''(x)
=f(x)(F''(x)+(F'(x))^2)
\end{align*}

\begin{align*}
&
\ln H(x,p) \\
=&
\dfrac{p + 1}{p}
\ln (1 + x^{p}) \\
&-\dfrac{1}{p}
\ln (1 + x^{p(p-1)})
\end{align*}
\begin{align*}
&
\dfrac{\partial_{x} H}{H} \\
=&\dfrac{(p+1) x^{p-1}}{1+x^p} \\
&- \dfrac{(p-1) x^{p^2 -p -1}}
{1+x^{p(p-1)}}
\end{align*}
\begin{align*}
&
\partial_{x} H(x,p) \\
=&
\dfrac{(1+x^{p(p-1)})^{1/p}}
{(1+x^p)^{1/p}}
(p+1) x^{p-1} \\
&
-
\dfrac{(1+x^{p(p-1)})^{-1+1/p}}
{(1+x^p)^{1+1/p}}
(p-1) x^{p^2-p-1}
\end{align*}

\begin{align*}
h(x,p)
=& \dfrac{(1+x^{p(p-1)})^{1/p}}
{(1+x^{p})^{1+1/p}} \\
H(x,p)
=& \dfrac{1}{h(x,p)}
\end{align*}

さらに計算を進めると
\begin{align}
&\pi_{p} \\
=& \dfrac{2}{p}
\int_{0}^{\pi}(
|\cos \theta|^{2-p} |\sin \theta|^p \\
& \quad +
|\sin \theta|^{2-p} |\cos \theta|^p
)^{1/p} d \theta
\end{align}

\begin{align}
|x_p'(\theta)|
=& \dfrac{2}{p} |\cos \theta|^{(2-p)/p}|\sin \theta|, \\
|y_p'(\theta)|
=& \dfrac{2}{p} |\sin \theta|^{(2-p)/p} |\cos \theta|
\end{align}
となることから
\begin{align}
&(|x_p'(\theta)|^p
+ |y_p'(\theta)|^p)^{1/p} \\
=&\dfrac{2}{p}
(
|\cos \theta|^{2-p} |\sin \theta|^p \\
&+
|\sin \theta|^{2-p} |\cos \theta|^p
)^{1/p}
\end{align}

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