表示名 @mathmathniconico@mathtod.online

自明な例として、$x*y=\{x,y\}$ もある。どの集合上で定義するかが問題だけど、$\emptyset$ を含む最小の集合 ($\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\},\{\{\emptyset\}\},\ldots$) を考えると可算にはなる。

【調和振動子と不確定性関係2/2】
位置と運動量の量子的なゆらぎは
\begin{equation}
\Delta\hat{x}=\sqrt{\langle\hat{x}^2\rangle-\langle\hat{x}\rangle^2},~\Delta\hat{x}=\sqrt{\langle\hat{p}^2\rangle-\langle\hat{p}\rangle^2}
\end{equation}
と書ける。$\langle n|\hat{x}|n\rangle=\langle n|\hat{p}|n\rangle=0$より
\begin{equation}
\left( \Delta x_{n} \right)^2\left( \Delta p_{n} \right)^2=\frac{\hbar^2}{4}(2n+1)
\end{equation}
となり、$n=0$のときに$\Delta x\Delta p$は$\hbar/2$のゆらぎを持つことが見積もれる。これは不確定性関係に対応する。#量子力学 #物理

【調和振動子と不確定性関係1/2】
固有状態（$n$番目の励起状態$|n\rangle$）とその固有値（$E_{n}$）は
\begin{equation}
|n\rangle=\frac{1}{\sqrt{n}!}\left( \hat{a}^{\dagger} \right)^n |0\rangle,~E_{n}=\left( n+\frac{1}{2} \right)\hbar\omega
\end{equation}
と書ける。$n=0$のときは基底状態であり、その固有値$E_{0}=\hbar\omega/2$は零点振動を表す。
調和振動子の位置と運動量の演算子は
\begin{equation}
\hat{x}=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left( \hat{a}^{\dagger}+\hat{a} \right),~i\frac{\hbar m\omega}{2}\left( \hat{a}^{\dagger}-\hat{a} \right)
\end{equation}
と表される。#量子力学 #物理

先週あたりにオイラーの多面体公式の歴史に関する本を読んだ。実は「多面体」という言葉のさす範囲が不明確だったりして、オイラーの没後に種々整理されていったよう。

@mathmathniconico
> 二重スリットとかの話でしょうか？
そうです。ただ，前言を引っくり返すようなことを言いますが，ファインマン経路積分の計算そのものには物理的な束縛はほとんど必要なく，純粋な数学的操作で十分だと感じます。実際，ほとんど唯一の物理的束縛は，ファインマン核の「定義」のみかなと。
しかし，量子力学の成立においては，実験・観測によるかなり正確な裏付けがあったことは強調したいです。