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圏論に元を取り戻そう
mathlog.info/articles/2557

高評価、コメント、待ってます

線型代数やるつもりならLinear Algebra Done Rightというのが、行列式を導入せず展開してるそうなので、読んでみたら面白いかもしれない

土日くらいにベシ圏pdfの6章読もうかな

コンマ圏はスライス記法にしてスライス圏かローヴェア圏に名前を変えよう

表示名 boosted

ベーシック圏論は要するにこういうこと、みたい記述が今の所ないように思うからからイメージつかみにくい気がする。コスライス圏は圏$\mathscr{C}$の対象$x$から出ている射から構成された圏だよ、みたいなこと書いてほしい。。

表示名 boosted

ベシ圏はそういう感じの問題多いですね.これって見たことあるでしょ?要するに何のこと?みたいな.

BT> 関手の公理で恒等射を要求する理由がよくわからん。

答えになるか分からないけど、圏は射のみで定義できる
github.com/mathmathniconico/No

なので対象があることと恒等射があることは同一視される。つまり恒等射を要求することは、圏が空でないことと同義だと思う。

表示名 boosted

メモの続き 

恒等射は逆(射)を定義するときに必要になる。例えば、$f:a \to b$を考える。$f\circ ? = 1_b$の$?$は逆射なので、$g:b\to a$とか。

関手の公理で恒等射を要求する理由がよくわからん。

随伴
 圏同型は2つの圏が一対一に対応するほどにぴったり=可逆な関手があること。ピッタリすぎるので、発展性がない。この条件を緩和しているのが随伴。「可逆な関手がない2つの圏の間にも成立すること」

同じさの程度が、関手の存在、随伴の存在、圏同値の存在、圏同型の存在の順で強くなる。

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twitter.com/azurlane_staff/sta
エセ中国語は一見ネタに見えるけど、リテラシーレベルとしては非常に高い。にもかかわらず言ってることが最低の内容で、それが通るのがほんと面白い。コメント書いた人は中国語使えるってのもポイント高い

マンデルブロー集合内部の着色か、難しいな

コンピュータは有限の計算しかできないので、外側(発散)の場合は閾値を超えるまでの回数で色分けすればいいから簡単

一方で内側は、収束するか有限の範囲で振動するかの2パターン考えられる

もし全部収束する場合、その収束値の偏角とかで色分けできる。問題はその収束値が厳密に計算できるのか不明なこと。収束の早さが分かるなら、ある程度は近似的な色を塗れるかもしれない

厄介なのは振動のパターンで、カオス的な振る舞いをするのであれば、もうどうやって色分けしたらいいか分からない

表示名 boosted

マンデルブロー集合の着色ルールを調べたところ、たいていがマンデルブロー集合自体は黒く塗りつぶし、補集合に色を塗っているよことがわかり萎えた

表示名 boosted

Bartosz Milewski先生の圏論の動画をようつべで観ました(2まで)。全射(surjection)からepimophism、単射(injection)からmonomorphismになるのかー。字幕を追うだけで精一杯であんまり理解できなかったけど$\mathrm{Set}$の同型射は全単射になるのはわかるけど、epiかつmonoが同型射にならんのはよくわからんかった。

最近ቺቻቺቻを見かけるから、どこの文字だよとか思って調べたら、ゲエズ文字だって、どこの文字だよ…

ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B

柏原予想の柏原と言えば、D加群には挫折しましたよ、ええ

谷村氏のpdf読んだ

氏は集合論との対極として圏論を捉えているようだが、個人的には集合論の延長線上にあるのかなと思っている。高次圏になると話は違ってくるんだろうけど。

あと自分は射も函手も自然変換も全部→で書いちゃう派かな

ベーシック圏論、arXiv版、チラ見

すぐ随伴なのは良い構成だと思う。定義も三つ載ってるし(これいる?)マックレーンと同様で例示に次ぐ例示なので、数学的基盤が無いと穴だらけになって辛いかもしれない

そういえば米田の補題は54年ぐらいらしい。米田はEilenbergの来日中ガイドをしていた。その後米田がパリにいるとき、噂を聞きつけたのかMacLaneが会いに来て、その内容を71年の本に書いたので広く知られるようになったと。

あまり経緯がよくわからんのだけど…探せば伝記とかあるのか?

live.nicovideo.jp/watch/lv3330

こんなのやるっぽい? 日曜日はアズレンだから私は見れないが

群$G$について、圏$BG$を次で定める。
対象:$\ast$(一つだけ)
射の集合:$hom(\ast, \ast)=G$
射の合成:$g\circ f=gf$

問題:$G, H$を群とする。このとき函手$F\colon BG\to BH$は何でしょうか?

昨日ちょっと加筆したのだけど、随伴は汎化に対する二種類の解答、と捉えることができる。

何かを汎化するとき、不確定な部分が生じる。それをどう埋めるのかが問題。一つの解答は、個別に構造を与えてしまうリベラルな方法。もう一つは全てを一纏まりにして並列化する保守的な方法。それぞれ左随伴と右随伴と呼ぶ。

ちょうど政治的な左右と感覚的に似てるので覚えやすい。

例えば自由Fと忘却Uの随伴を考える。忘却を汎化とみなすと、忘却によってバラバラになった個別に構造を与えるのが自由。一方自由を汎化とみなすと、自由によって纏まりの無くなったものを一つに扱うために構造を忘れるのが忘却。

簡単な、というより、導入するのにちょうど良い、って言いたかった

そこそこ複雑で、射の合成もすっきりしていて、極限とかも考えやすいし、そしてフィボナッチ数が函手になる

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個人的に一番簡単な圏は自然数と倍数関係の圏ですね

対象:自然数$0, 1, 2, \dotsc$
射:$n=km$のとき$k\colon m\rightarrow n$ただし$k\le n$

なんで$k\le n$じゃなきゃいけないかを考えると分かるかも

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