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最後ら辺、ちゃんとフォローしてないんだよなー。結構シビアな議論がいる気がする。

この式に対応するDirichlet級数は
\[ \frac{1}{\zeta( s )}=\prod_{p}\left( 1-\frac{1}{p^{s}} \right) \]
である。これがオイラー積表示である。

割り切りにおいて、$\mathfrak{z}$はゼータ函数
\[ \zeta( s )=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}} \]
に対応する。メビウス函数は良く知られたものであり、$n=p_{1}\dotsb p_{r}$の時に限り$( -1 )^{r}$となる。なので各素数について先ほどの$\mu_{\le}$を取り、$\mu=\bigotimes_{p}\mu_{\le}$と表せる。

\[ ( \phi_{1}\otimes\phi_{2} )\ast( \psi_{1}\otimes\psi_{2} )=( \phi_{1}\ast\psi_{1} )\otimes( \phi_{2}\ast\psi_{2} ) \]
に注意すると、$\delta$を単位元として
\[ \mu=\bigotimes_{p}\mu_{\le}=\ast_{p}( \delta\otimes\dotsb\otimes\delta\otimes\mu )=\ast( \delta-\delta_{p} ) \]
が成り立つ。

常に$1$を取る写像$\mathfrak{z}\colon\lbrack x, y \rbrack\mapsto 1$を考える。これは$I( P )$において可逆であり、$\mu:=\mathfrak{z}^{-1}$をメビウス函数と呼ぶ。するとメビウス反転公式が成り立ち、$f=g\ast\mathfrak{z}$なら$g=f\ast\mu$が成り立つ。

$( \mathbb{N}, \le )$では$\mathfrak{z}$は
\[ 1+x+x^{2}+x^{3}+\dotsb \]
なので、メビウス函数は$1-x$に対応する。故に$\mu( \lbrack m, n \rbrack )$は$m=n$のとき$1$、$n=m+1$のとき$-1$、それ以外は$0$になる。

反転公式は
\[ f( n )=\sum_{0\le k\le n}g( k ) \]
なら
\[ g( n )=f( n )-f( n-1 ) \]
ということ。確かに$f( m )$の係数が$\mu( m )$になっている。

では割り切りによる順序はどうかというと、代表元は$\lbrack 1, n \rbrack$なので双対代数は$( a_{1}, a_{2}, \dotsc )$とみなせる。convolution積は
\[ ( a\ast b )_{n}=\sum_{ij=n}a_{i}b_{j} \]
となる。そこで$I( P )$の元をDirichlet級数
\[ A( s ):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{n^{s}} \]
に対応させることができる。

一方、自然数は素数の積で表されるので、
\[ P=( \mathbb{N}, \vert )\cong\bigoplus_{p}( \lbrace p^{k} \rbrace, | )=:\bigoplus_{p}E \]
が成り立つ。一般に、直積順序の区間は、各成分の区間の直積になるから$I_{P}=\bigoplus_{p} I_{E}$である。従って$I( P )=\bigotimes_{p} I( E )$となる。

特に$P$が$\lbrack x, y \rbrack\cong\lbrack 0, z \rbrack$と表せるとき、これらを同一視する。

例えば、代表的な$\mathbb{N}$上の順序として、通常の順序$x\le y$と、割り切り$d\vert n$がある。

通常の順序における代表元は$\lbrack 0, n \rbrack$なので、双対代数は数列$( a_{0}, a_{1}, \dotsc )$とみなせる。するとconvolution積は
\[ ( a\ast b )_{n}=\sum_{0\le k\le n}a_{k}b_{n-k} \]
であるから、$I( \mathbb{N}, \le )\cong\mathbb{C}\lbrack\lbrack x \rbrack\rbrack$は形式的冪級数環となる。

半順序集合$P$の区間$\lbrack x, y \rbrack$を基底とするベクトル空間$I_{P}$を考える。そして写像$\Delta\colon I_{P}\rightarrow I_{P}\otimes I_{P}$を次で定める。
\[ \Delta( \lbrack x, y \rbrack )=\sum_{x\le z\le y} \lbrack x, z \rbrack\otimes\lbrack z, y \rbrack. \]
これはcoalgebraと呼ばれるものになるが、更にこの双対代数を考える。つまり$I_{P}$から$\mathbb{C}$への線型写像全体$I( P )$は、convolution積
\[ ( \phi\ast\psi )( \lbrack x, y \rbrack )=\sum_{x\le z\le y}\phi( \lbrack x, z \rbrack )\psi( \lbrack z, y \rbrack ) \]
でalgebraになる。

うーむ、やっぱ難しいのか。定義や具体的な計算は簡単なのだが。

足し算と掛け算の関係が良く分かってない、という主張にも繋がるかも。

$M\otimes M\rightarrow M/N\otimes M/N$の核について真面目に議論してる論文はないだろうか

件の動画を批判したくなったら、そのエネルギーで数学動画を作るべきだ。良貨は悪貨を駆逐すると私は信じている。

ただしゆっくり動画は大変なのでオススメしない。

$\gamma$「呼んだ？」

高校数学で扱う実数はこの体に大体入っている気がしなくもない（$\sqrt[n]{m}$も含めるとして）

問題は$e$が入っているかだが、これは未解決だったような。

有理数に$\sqrt{n}$と$\pi$を添加した体を考えよう

素人的にはPvsNPの状況が呑み込めない

＞ P vs. NP
どういうことなの…

ねむみがやばいので間違ってるかもしれんな