最後ら辺、ちゃんとフォローしてないんだよなー。結構シビアな議論がいる気がする。

この式に対応するDirichlet級数は
\[ \frac{1}{\zeta( s )}=\prod_{p}\left( 1-\frac{1}{p^{s}} \right) \]
である。これがオイラー積表示である。

割り切りにおいて、$\mathfrak{z}$はゼータ函数
\[ \zeta( s )=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}} \]
に対応する。メビウス函数は良く知られたものであり、$n=p_{1}\dotsb p_{r}$の時に限り$( -1 )^{r}$となる。なので各素数について先ほどの$\mu_{\le}$を取り、$\mu=\bigotimes_{p}\mu_{\le}$と表せる。

\[ ( \phi_{1}\otimes\phi_{2} )\ast( \psi_{1}\otimes\psi_{2} )=( \phi_{1}\ast\psi_{1} )\otimes( \phi_{2}\ast\psi_{2} ) \]
に注意すると、$\delta$を単位元として
\[ \mu=\bigotimes_{p}\mu_{\le}=\ast_{p}( \delta\otimes\dotsb\otimes\delta\otimes\mu )=\ast( \delta-\delta_{p} ) \]
が成り立つ。

常に$1$を取る写像$\mathfrak{z}\colon\lbrack x, y \rbrack\mapsto 1$を考える。これは$I( P )$において可逆であり、$\mu:=\mathfrak{z}^{-1}$をメビウス函数と呼ぶ。するとメビウス反転公式が成り立ち、$f=g\ast\mathfrak{z}$なら$g=f\ast\mu$が成り立つ。

$( \mathbb{N}, \le )$では$\mathfrak{z}$は
\[ 1+x+x^{2}+x^{3}+\dotsb \]
なので、メビウス函数は$1-x$に対応する。故に$\mu( \lbrack m, n \rbrack )$は$m=n$のとき$1$、$n=m+1$のとき$-1$、それ以外は$0$になる。

反転公式は
\[ f( n )=\sum_{0\le k\le n}g( k ) \]
なら
\[ g( n )=f( n )-f( n-1 ) \]
ということ。確かに$f( m )$の係数が$\mu( m )$になっている。

では割り切りによる順序はどうかというと、代表元は$\lbrack 1, n \rbrack$なので双対代数は$( a_{1}, a_{2}, \dotsc )$とみなせる。convolution積は
\[ ( a\ast b )_{n}=\sum_{ij=n}a_{i}b_{j} \]
となる。そこで$I( P )$の元をDirichlet級数
\[ A( s ):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{n^{s}} \]
に対応させることができる。

一方、自然数は素数の積で表されるので、
\[ P=( \mathbb{N}, \vert )\cong\bigoplus_{p}( \lbrace p^{k} \rbrace, | )=:\bigoplus_{p}E \]
が成り立つ。一般に、直積順序の区間は、各成分の区間の直積になるから$I_{P}=\bigoplus_{p} I_{E}$である。従って$I( P )=\bigotimes_{p} I( E )$となる。

特に$P$が$\lbrack x, y \rbrack\cong\lbrack 0, z \rbrack$と表せるとき、これらを同一視する。

例えば、代表的な$\mathbb{N}$上の順序として、通常の順序$x\le y$と、割り切り$d\vert n$がある。

通常の順序における代表元は$\lbrack 0, n \rbrack$なので、双対代数は数列$( a_{0}, a_{1}, \dotsc )$とみなせる。するとconvolution積は
\[ ( a\ast b )_{n}=\sum_{0\le k\le n}a_{k}b_{n-k} \]
であるから、$I( \mathbb{N}, \le )\cong\mathbb{C}\lbrack\lbrack x \rbrack\rbrack$は形式的冪級数環となる。

半順序集合$P$の区間$\lbrack x, y \rbrack$を基底とするベクトル空間$I_{P}$を考える。そして写像$\Delta\colon I_{P}\rightarrow I_{P}\otimes I_{P}$を次で定める。
\[ \Delta( \lbrack x, y \rbrack )=\sum_{x\le z\le y} \lbrack x, z \rbrack\otimes\lbrack z, y \rbrack. \]
これはcoalgebraと呼ばれるものになるが、更にこの双対代数を考える。つまり$I_{P}$から$\mathbb{C}$への線型写像全体$I( P )$は、convolution積
\[ ( \phi\ast\psi )( \lbrack x, y \rbrack )=\sum_{x\le z\le y}\phi( \lbrack x, z \rbrack )\psi( \lbrack z, y \rbrack ) \]
でalgebraになる。

うーむ、やっぱ難しいのか。定義や具体的な計算は簡単なのだが。

足し算と掛け算の関係が良く分かってない、という主張にも繋がるかも。

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テンソルの核は具体的にわかろうとすると難しい(flatとかがあれば綺麗になる)からあまり考えないようにするのが普通かも

$M\otimes M\rightarrow M/N\otimes M/N$の核について真面目に議論してる論文はないだろうか

件の動画を批判したくなったら、そのエネルギーで数学動画を作るべきだ。良貨は悪貨を駆逐すると私は信じている。

ただしゆっくり動画は大変なのでオススメしない。

高校数学で扱う実数はこの体に大体入っている気がしなくもない($\sqrt[n]{m}$も含めるとして)

問題は$e$が入っているかだが、これは未解決だったような。

有理数に$\sqrt{n}$と$\pi$を添加した体を考えよう

素人的にはPvsNPの状況が呑み込めない

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正則写像や有理型関数など, 扱いやすい例が続く. $\hat{\mathbb{C}}$から$\hat{\mathbb{C}}$への正則写像は有理関数に限ることから, ある一定の条件下で考えるべきクラスが定まる. さらに$\hat{\mathbb{C}}$の正則自己同型は一次分数変換であることから, $\hat{\mathbb{C}}$上でアイデンティティを保った連続的で素性の良い鏡映的時間発展を考えるとそれは一次分数変換になる.
さらに$f \in \mathrm{Aut}(\hat{\mathbb{C}})$で$$f(z_0) = 0, f(z_1) = 1, f(z_{\infty}) = \infty$$となるものはこれらの相異なる三点において唯一つしかない. 相異なる三点と被観測物, 観測者, 無限遠点との対応関係は$\hat{\mathbb{C}}$で表される自己同型モデルなら1つしかないということ. 互いに相異なる4点を定めれば$f$は恒等写像になるので, 次元への含蓄もあって面白い. Riemann球面の真髄が現れている.

表示名 boosted

これまでのP≠NP問題を解決したと主張する論文のリスト(116本).
win.tue.nl/~gwoegi/P-versus-NP
=と≠が半々くらいなのが面白い

表示名 boosted

プレプリントを公開しました。一般的に定式化されたBussの限定算術の階層が完全に崩壊しないことを示しています。竹内外史の注意により、ここからP≠NPが帰結します。

arxiv.org/abs/1904.06782

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