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漠然と抱き続けてること

集合と2値論理(ブール代数?)は密接な関係にあると思う。$\cup, \cap$や$\subset$とか、補集合による双対性とか。

こういう方向で、他の代数や論理に対する「集合のようなもの」を考えたものはあるのだろうか?

私は圏論強者が自然と言うところを1時間かけてdiagram chasingするけど、そもそもdiagram chasingしたところで分かった試しがないので、たぶんそういう話じゃないのだろう。

ちゃんと確認したら「テンソル積の右完全性」という発言は意味不明だった。

普通に
\[ \mathrm{Hom}_{B}( X, \mathrm{Hom}_{A}( B, I ) )\cong\mathrm{Hom}_{A}( X\otimes_{B}B, I )=\mathrm{Hom}_{A}( X, I ) \]
から、命題は$I$の入射性そのものですね。

$\mathrm{Hom}_{A}(B, I)$は$B$-加群として入射的になるんですか?

だそうです(圏論クソザコ民感)

(二重の意味で)一つ上のレベルで示してくれました。

表示名 boosted

A→Bの環準同型と入射的A-加群Iに対してHom_A(B,I)が入射的B-加群か?というのは正しい。

一般に、
C,D:アーベル圏
F:C⇆D:G:(Ab-豊穣)関手
FはGの左随伴で、Fはさらに完全関手
としたら、GはDの入射的対象をCの入射的対象に写す。
∵)
IがDの入射的対象としたとき、
Hom_C(-,G(I)):C^op→Abが完全関手であれば良い。けどこれは(F,G)の随伴でHom_D(F(-),I)と自然‪同型で、これは二つの完全関手Hom_D(-,I):D^op→AbとF:C^op→D^opの合成なので完全関手。

ここでC=A-Mod,D=B-Mod,F=スカラーの制限、G=Hom_A(B,-)とすれば最初の問いの答えが得られる。

表示名 boosted

圏論的にはこれらの随伴はKan拡張。
環Aを一点の上のAb-豊穣圏Aと思えば、準同型A→Bは(一点圏と思って)Ab-豊穣な関手A→Bと対応する。
A-加群はアーベル群Mであって環準同型A→End(M)の付随したものだと思えば、Ab^(A^op)は(左?右?)A-加群の圏と圏同型。(Aが可換ならA^op=Aだからどちらでも良い)

環Aに対してAをA加群だと思う方法が、米田埋め込みA→Ab^(A^op)で、これによる一点の像はちょうどAになる。

環準同型A→BでB加群のスカラーを制限するというのは、A^op→B^opにより自然に出る関手Ab^(B^op)→Ab^(A^op)のこと。

A加群MをBに係数拡大するというのは、A^op→B^opに沿ったM:A^op→Abの左Kan拡張を取るということ。

表示名 boosted

テンソルといえばHomの左随伴という意識が強いかもしれないけど、係数拡大という意味での加群と代数のテンソルはHomに随伴するのではなくてスカラーの制限に随伴します。
Homの左側に代数を入れた関手はテンソルに随伴するのではなくてこっちもスカラーに随伴します。

$\mathrm{Hom}(F, \mathrm{Hom}(R, M))\cong\mathrm{Hom}(F\otimes R, M)$とテンソル積の右完全性でいける?

後ろに置くと情報の処理順で書けて嬉しいのでしょう。(逆)ポーランド記法については初めて知った時に感動した覚えがあります。

まぁ書き方なんでその都度確認してけば後は慣れで、どれでもいいんですが、主流がある以上は何か人間科学的な背景があるのかなとは気になります。

以前、$( x )f$と書く本について書いたが、バーンサイドの本も$\Omega$に対する$A$の作用を$\Omega.A$と右に書くらしい。確かに置換などは右に書く方が相性は良い。

逆に現在主流の左から書く方法の利点は何だろうか。

料理と数学は似ている。食材という公理があって、レシピに従って論理を組み立てていくと料理という命題ができあがる。同じ料理でも作り方は様々だし、自分で新しい料理を作ることもできる。

表示名 boosted

\mod は2項演算として入っているのか

$$a\equiv b (\mod n) $$

となってしまうから、\pmod を用いて

$$a\equiv b \pmod n$$

とすると good👍🏼

こういうシステムはオープン化してもええんちゃうん? そして作り直した方が早そう(素人感)

統計処理システム、なかなかのカオス具合(別紙11とか13)
mhlw.go.jp/sinsei/chotatu/chot

今後も昭和に生まれ、平成が育てた混沌をリファインしていく作業が増えていくんだろうなぁ

投げてはいない(強調)

・・・ただちょっと寝かせてあるだけ

モデル選択勉強したいけど渡辺さんの本難しすぎるよー頼むよー

ベイズ統計については、個人的にはパラメータ空間がコンパクトであったり、あるいはモデル空間がタイトだったりすることが重要なんじゃないかと思うのだが、その辺はあまり書かれてはいないんだよね。

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