$$\left\{\begin{pmatrix} a&0 \\0&b \end{pmatrix}\mathrel{}\middle|\mathrel{}a,b\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\right\}$$
は$(\mathbb Z/2\mathbb Z)^2$と同型か

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あれ,位数4の単位的環って同型を除いて$\mathbb Z/4\mathbb Z,\mathbb F_4,$
$$\left\{\begin{pmatrix}
a&b
\\0&a
\end{pmatrix}\mathrel{}\middle|\mathrel{}a,b\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\right\},$$$$\left\{\begin{pmatrix}
a&0
\\0&b
\end{pmatrix}\mathrel{}\middle|\mathrel{}a,b\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\right\}$$
の他ある? 今のところ全部可換

僕がよく言ってること
・ZF集合論から空集合の公理は外せる
・空集合の共通部分$\bigcap\emptyset$はZF集合論では定義できない
・$\bigcup\emptyset=\emptyset$
・2つの集合の直積集合のwell definedの証明は結構つらい
・写像の記号$f:A\to B$は集合論の記号だけでちゃんと定義できる
・一般の直積集合(無限直積を含むやつ)は写像で定義してください、"..."じゃ議論しにくい
・AC使うときは一言書いてほしい
・$\exists 1\in G,...$の1を定数記号で扱ったら(伝わるかもしれないけど)文法ミス。一階述語論理なら$\exists $の直後は変数記号しかダメ。
・単位的環(体)、加群(ベクトル空間)の加法の可換性は外せる

twitterにもうpしましたが、僕がmathpowerに提出した問題(訂正版)です.
採用はされませんでしたが、集合の基本的なことだけで面白い内容になってると思います.
問1が距離空間の公理を削れる話.
問2が開集合系の公理を削れる話.
問3が境界の性質だけで位相空間と同値が示せる話(の一部).
mathtod.online/media/T5rmBtxDW mathtod.online/media/8Uj-TDOab mathtod.online/media/A62P4qxEP

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