$$\left\{\begin{pmatrix} a&0 \\0&b \end{pmatrix}\mathrel{}\middle|\mathrel{}a,b\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\right\}$$
は$(\mathbb Z/2\mathbb Z)^2$と同型か

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あれ,位数4の単位的環って同型を除いて$\mathbb Z/4\mathbb Z,\mathbb F_4,$
$$\left\{\begin{pmatrix}
a&b
\\0&a
\end{pmatrix}\mathrel{}\middle|\mathrel{}a,b\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\right\},$$$$\left\{\begin{pmatrix}
a&0
\\0&b
\end{pmatrix}\mathrel{}\middle|\mathrel{}a,b\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\right\}$$
の他ある? 今のところ全部可換

@waidotto ですよね。上三角行列と下三角行列は双対で非可換ですし三角行列は非可換感が深い...

@Nyoho (たぶん$(a_1,...,a_n)\in R^\mathfrak M$ですね)
集合$|\mathfrak M|$の中だけで証明できるのを真ってしたいので、あとは論理式の定義に合わせて真偽を定義していくだけですね

@waidotto ちょうどその方法で作りました。できるだけ小さい単位的有限非可換環で作ろうとしてたので$\mathrm M(2,\mathbb Z/2\mathbb Z)$の部分環で位数8のものがあったんですが、乗法表作ろうとして(ry

@Nyoho $\forall,\exists$がついてる論理式なんかはその方法が楽ですね

僕がよく言ってること
・ZF集合論から空集合の公理は外せる
・空集合の共通部分$\bigcap\emptyset$はZF集合論では定義できない
・$\bigcup\emptyset=\emptyset$
・2つの集合の直積集合のwell definedの証明は結構つらい
・写像の記号$f:A\to B$は集合論の記号だけでちゃんと定義できる
・一般の直積集合(無限直積を含むやつ)は写像で定義してください、"..."じゃ議論しにくい
・AC使うときは一言書いてほしい
・$\exists 1\in G,...$の1を定数記号で扱ったら(伝わるかもしれないけど)文法ミス。一階述語論理なら$\exists $の直後は変数記号しかダメ。
・単位的環(体)、加群(ベクトル空間)の加法の可換性は外せる

@sr_ambivalence
\begin{align*}
a=&a+(0*0)\\
=&(a+0)*0\\
=&0
\end{align*}
なので零環しかないですね

https://mathtod.online/@meizen_os/688759 の問2について、 

@1_324718 その方針であってます。
$x\in\bigcup\emptyset$とすると和集合の定義から$\exists i\in\emptyset,x\in i$ですから矛盾するって流れですね

@sr_ambivalence ですよねー。証明はすぐ思いつくんですけど、言われるまで気づかないタイプの問題です。

twitterにもうpしましたが、僕がmathpowerに提出した問題(訂正版)です.
採用はされませんでしたが、集合の基本的なことだけで面白い内容になってると思います.
問1が距離空間の公理を削れる話.
問2が開集合系の公理を削れる話.
問3が境界の性質だけで位相空間と同値が示せる話(の一部).
mathtod.online/media/T5rmBtxDW mathtod.online/media/8Uj-TDOab mathtod.online/media/A62P4qxEP

@yajidasu $(\mathbb R\times \mathbb Z,\times_{\mathbb R\times \mathbb Z})$は閉性,結合法則は明らかで,単位元$(1_\mathbb R ,0_\mathbb Z)$ですね。ただ$(0_\mathbb R ,0_\mathbb Z)$に逆元がないので$\times_{\mathbb R\times \mathbb Z}$に対応する除算が定義できないですね。

@yajidasu どの空間の除算を定義したいんですか?($\mathbb{R} \times \mathbb{Z}$だとは思いますけど

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