Follow

なんでこういう $b$ があるのかわからない

· · Web · 2 · 0 · 0

@minerva
$H := \left< a\right>$
$G$ の元 $z \not\in H$ を勝手にとります。
$z$ の位数は $p^m ~(m \ne 0)$ と書けます。$p^m z = 0_G \in H$ です。そこで \[ z, p z, p^2 z, \dots, p^m z \] という元の列を考えると、
最初は $H$ に入っておらず最後は $H$ の元なので、
適当な $0\le k \le m-1$ が存在して $p^k z \not\in H, p^{k+1} z \in H$ となります。
(ちなみに一度入ってからはずっと $H$ の元なので $k$ は一意に定まる。)
$b = p^k z$ ととればよいです。

@tortoisebekkou ありがとうございます!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

@minerva
こういうのは命題まで見たい。$pb$ってことは$G$はアーベル群?

任意の$b\in G$について$b\in\langle a \rangle$または$pb\notin\langle a \rangle$が成り立つと仮定する。

もし任意の$b\in G$で$b\in\langle a \rangle$なら$G=\langle a \rangle$なので違う。

ある$b\in G$が存在して$b\notin\langle a \rangle$なので、仮定より$pb\notin\langle a \rangle$である。

もう一度仮定より$p(pb)=p^{2}b\notin\langle a \rangle$である。

後は$G$が$p$群であることを思い出すと矛盾する。

Sign in to participate in the conversation
Mathtodon

A Mastodon instance named Mathtodon, where you can post toots with beautiful mathematical formulae in TeX/LaTeX style.