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なんでこんな定義なんでしょうか

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@minerva ホモトープというのは連続写像を連続的に動かしたら移りあうという関係で、連続写像$F\colon X\times I\rightarrow Y$によって定義されます。

$f, g$がホモトープなら、それらが誘導する特異ホモロジー群の準同型$f_{\ast}, g_{\ast}\colon HX\rightarrow HY$が等しくなります。

この証明の鍵となるのはプリズム準同型という$S_{n}X\rightarrow S_{n+1}(X\times I)$です。($S$は特異チェインの複体)

$l\colon x\mapsto (x, 0)$と$u\colon x\mapsto (x, 1)$が誘導する$S_{n}(l), S_{n}(u)$が、複体としてホモトープ、つまり画像の式
\[ \partial\circ S+S\circ\partial=S(l)-S(u) \]
を満たします。

一般の複体には$I$に相当するものがないので、逆にこの式をホモトープの定義にしてしまおうと誰か偉い人が考えたわけです。(そして実際誘導するホモロジー群の準同型は一致する)

@mathmathniconico ありがとうございます!知らない単語いっぱいなんで 後でじっくり考えます

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