各 $\theta \in L$ に対して,$[K(\theta): K] \le |G|$ だから,$[K(\theta): K]$ が最大になるような $\theta \in L$ をとる.$K(\theta) \subsetneq L$ とすると,$\theta' \in L - K(\theta)$ がとれて,$[K(\theta): K] < [K(\theta, \theta'): K]$ となる.ところが $K(\theta, \theta')/K$ は有限次分離拡大だから単拡大であり,これでは $\theta$ の最大性に矛盾する.よって $K(\theta) = L$ である.

@minerva 1行目がそんなに自明じゃないんですかね

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@mathmathniconico $f_\theta$ がたかだか $|G|$ 次なので、、

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@minerva ああそうか。有限次なのはそうか。拡大次数がちょうど$\vert G \vert$である方に重きを置いてる感じでした

@minerva いや$\sigma\in G$は$K$上の同型でもあるから、その個数$\vert G \vert$は$\lbrack L : K \rbrack$以下ですね。

なんで桂は回りくどい方法を取ってるんだろう

あと気になるのは$K(\theta, \theta^{\prime})$が有限次分離という部分だけど、これは正しいですか?

@minerva すみません、余計なこと考えて場を乱しましたが自己解決しました

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