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定義というか定理かも(*´∀`*)

実-i平面を+θ回転させるとj-k平面も+θ回転します。
これは
 ((w+xi)+(y+zi)j)⋅(a+bi)=(w+xi)(a+bi)+(y+zi)j(a+bi)
を考えれば理解しやすいでしょう。

続いて実-i平面を−θ回転させます。この時j-k平面側のみ+θ回転させる方法があります。
(a−bi)⋅((w+xi)+(y+zi)j)=(a−bi)(w+xi)+(a−bi)((y+zi)j)

 (yj+zij)(a+bi)=ayj+byji+azij+bzj=(ay+bz)j+(az-by)ij
 (a−bi)(yj+zij)=ayj+azij−byij+bzj=(ay+bz)j+(az-by)ij ←どちらも同じになる!

つまり、任意の座標をiとみなした新たな座標系で上記のように実-i平面を±θ/2回転すると、
j-k平面のみが実-i平面の周りをθ回転し、結果的に三次元回転を得られるわけです(*'ω'*)

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このあたりは、拙ブログに詳しく書いてますので参照いただければ幸いです☆

四次元回転イメージと多元数の乗積表
arith.hatenablog.com/entry/201

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