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以前作成した不思議式で、$1$ 以外の任意の差を作れるようにしてみました(*>_<*)ノ

\begin{align}
&\sqrt[3]{n\sqrt{8n-3a^2}+(3an-a^3)}-\sqrt[3]{n\sqrt{8n-3a^2}-(3an-a^3)}\\
=&\frac{\sqrt{8n-3a^2}+a}2-\frac{\sqrt{8n-3a^2}-a}2\\
=&a
\end{align}
これにより、
・$a=1$,$n=1$ : $\sqrt[3]{\sqrt5+2}-\sqrt[3]{\sqrt5-2}=1$
・$a=2$,$n=3$ : $\sqrt[3]{6\sqrt3+10}-\sqrt[3]{6\sqrt3-10}=2$
などの面白い計算式を作れます。

特に $a=1$ のときは式全体を三乗しても三乗しても同じ式になる
マトリョーシカのような計算を楽しめ(?)ますよ。

$a\geqq\sqrt{8n-3a^2}$ になるときはコチラを使います。

\begin{align}
&\sqrt[3]{(3an-a^3)+n\sqrt{8n-3a^2}}+\sqrt[3]{(3an-a^3)-n\sqrt{8n-3a^2}}\\
=&\frac{a+\sqrt{8n-3a^2}}2+\frac{a-\sqrt{8n-3a^2}}2\\
=&a
\end{align}

・$a=3$,$n=4$ : $\sqrt[3]{9+4\sqrt5}+\sqrt[3]{9-4\sqrt5}=3$

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