可測関数で$\mathbb{R}$に$\{\pm\infty\}$を付け加える時に, 位相は保つが1点コンパクトではなく云々, という話題がしれっと出て来たりもするので, 常に注意深く聴講していないととんでもなく分からないことになる. 後, 数学系以外の分野の方々の論文で「数学」と称されているものがだんだん数学ではなく数式の羅列に見えるようになっては来るけど, これはある程度仕方がないことだと思う.

余談として, 先生が「零集合はnull set」というのをやたら強調して話されていたのだけれど, 「令和ナル」という親父ギャグだったのだろうかというのが当面の悩み所.

週末は東京に行く用事があるので, 『複素函数論』の演習は一応は済ませた. 東京での空き時間で『代数学I』の演習に取り組むつもり. 無限に勉強しないとどうにもならない.

今日の『解析学I』は測度, 測度空間の続きから. 冪集合を考える数え上げ測度から劣加法性や測度の連続性, 零集合, 可測関数などについて. 集合論的な論理展開のテクニックをいろいろ学ぶ.

話は勿論面白いんだけど, 訳がわかっていないので演習は惨憺たる結果になる. 勿論訳が分からないので勉強をする訳で, 分かっていたら先は幾らでもあるので先にどんどん進まないといけない. そうではなく本当に分かっていないので, もう少しどうにかした方がいいというのがTAの方々からのアドバイス. あと, やはり字は汚いらしい. ただ習字の練習をしている暇があったらもっと論理的に記述出来るような学習をするべきなので, 直ぐには如何ともし難い. 時間内に出来るだけ可読化出来るように努める.

今日の『幾何学I』はRiemann球面(Riemann面)の補足から$C^{\infty}$写像について.

$C^{\infty}$局所座標はそのアトラスの両立可能性による同値関係に従った極大アトラスである, ということの説明. これで定義に依存しないある普遍的な物の見方が出来るようになる. 複素多様体を考えると局所座標を適切に考えないと写像が適切に定まらない場合もある. 複素で考えると実際によく起こることで実際問題として経験もあるので, 要注意.

演習は授業の内容を覚えていないし, そもそも計算間違いをして変になっていたので全然出来なかった. 臨界点の次元周りの情報をHessianの退化性で抽出すること, 局所座標間の変換の計算は勉強になった.

シンプレクティック幾何学がどうこうとか言う段階ではないので, 取り敢えずは演習がもっと出来るようになることが当面の目標. 正規生だった20年くらい前に比べて極めて辛い状況になっているけど, 自分が勝手に始めたことには落とし前はちゃんとつけたい.

しかしこのDirichlet函数というのは素晴らしいな.
$$f(x) = \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
1 (x \in \mathbb{Q})\\
0 (x \in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q})\\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray} $$

$$f(x) = \lim_{n \to \infty}\lim_{k \to \infty}\cos^{2k}(n!\pi x).$$
実数上で可算個を上手く扱えるようにしている. Dirichletは「偉大な数学者とは, 盲目的な計算をすばらしいアイデアに置き換える人のことである」という言葉を残しているけど, Dirichlet函数に限らず奇抜なアイデアをいろいろ出していて非常に魅力的.

トライがああなのは, 「みはじ」とかの導入と同じ理由でしょうね. トライはターゲット層が普通の生徒の平均かそれ以下レベルなので, そういう状態でも形だけ無理矢理成績を上げようとすることに最適化するとそうなります. 私は勿論, そんなことをして成績が上がっても将来的には却って不利に働くと思うのでそうはしませんが, 企業の場合, 利益をあげるという意味での最適化の指標が「当面の成績をあげる」なので, 一般的な思考方法を体感させることはどうでもよくなるのです.

博士号を持っているレベルだと文部科学省検定済教科書の中にも容易に間違いを発見出来るので, 教える側は適宜訂正していかないとやっていけない. 大学の教材に限らず, 教材というものは一般に誤りを含んでいる. 誤りを含むコミュニケーションの一環として, 気付いた時は訂正して行くしかない. システムを改変出来る立場にない場合は特にそう.

基本的に, 適度な付き合いで流しながら生きることにしている.

トライの件, 受験産業なんてこんなもんの所が多いので驚きではない. 内部事情を知っているのでどうしてこうなったのかは大体予想がつくけど, アカデミアと同じく, 実権のない個人にはどうしようもない.

演習の方は単位数の履修制限で今までは取っていなかったのだけれど, 『代数学I』では受講生が発表するスタイルなので自分が普通の人よりも如何に雑にしか考えていないのかがよく分かるし, 聴いていて参考になる. 先生からはダメ出しが出るけど, 私は大体の人よりもずっと低いレベルなので最初は聴くだけでも勉強になる. 特に最後の人は新しい概念をきちんと使い熟せているので, 自分の表層的にしか見れていない視点と比べて反省するところがある. 演習の形式は全ての授業で少しずつ違うので, それぞれについて適度に利用して行きたい.

今日の『代数学I』は環準同型定理からPID, UFDへ.

$M, N$を$A$-加群, $f: M \to N$をその準同型とした時に, 単射準同型$$M/\mathrm{Ker}(f) \hookrightarrow N$$が一意的に存在するという話. カーネルの醍醐味をマスターしないといけない. さらにPID, Euclid整域, 素元や既約元, UFD, Noether整域に話は広がって行く. 私のモデルだとこういう概念を数だけではなく, いろいろな事象の安定性や不安定性を抽象的に捉えるのにも拡張している. でも基本がよく分かっていなくて酷いので, ぼちぼち理解しないといけない.

演習問題の方は相変わらずさっぱり分かっていないし, 一応挑戦するのにも時間がかかりもすれば論理的破綻が随所にあるし, そもそも若い時より計算間違いをやたらに犯すようになったので苦労している. でもまあ, 基本的な函数論は避けては通れないので, やるしかない.

正則写像や有理型関数など, 扱いやすい例が続く. $\hat{\mathbb{C}}$から$\hat{\mathbb{C}}$への正則写像は有理関数に限ることから, ある一定の条件下で考えるべきクラスが定まる. さらに$\hat{\mathbb{C}}$の正則自己同型は一次分数変換であることから, $\hat{\mathbb{C}}$上でアイデンティティを保った連続的で素性の良い鏡映的時間発展を考えるとそれは一次分数変換になる.
さらに$f \in \mathrm{Aut}(\hat{\mathbb{C}})$で$$f(z_0) = 0, f(z_1) = 1, f(z_{\infty}) = \infty$$となるものはこれらの相異なる三点において唯一つしかない. 相異なる三点と被観測物, 観測者, 無限遠点との対応関係は$\hat{\mathbb{C}}$で表される自己同型モデルなら1つしかないということ. 互いに相異なる4点を定めれば$f$は恒等写像になるので, 次元への含蓄もあって面白い. Riemann球面の真髄が現れている.

昨日の『複素函数論』はRiemann球面から. 反転の話はいろいろな数学や物理学的な応用がありそうなので, 基本として抑えておきたい. 先週の演習問題が難しくて時間的皺寄せが今日の代数学の方にも押し寄せたので, 投稿が遅れた.

今日は『解析学I』の初回. まずは可測空間と測度空間について.

$\sigma$-加法族から可測空間, Borel $\sigma$-加法族, Dynkin族の定義と簡単な応用. Dynkin族は私のモデルでも個体群(種)密度の空間のソーティングに使えそう. これを使うという前提ならいろいろな空間を考える必要が無くなる. 有限交差で閉じること($\pi$-system)を仮定すればDynkin族が$\sigma$-加法族に一致するので, 可測空間にまで話が広げられる.

演習は授業の行間を埋める形でここまで. 授業はさらに測度と測度空間についても取り扱った. 何かを測るとはどういうことか, ある意味での回答. 可測か非可測かは私のモデルでも$\Re(s) = 2$を境にして変わる. 高次階層の場の量子論的な離散的世界か, 低次階層のカオス的連続世界か. そこに見出される物を考える術を, 半期で授業と共に考えて行きたい.

自分がちゃんと理解出来るかはさておき, 数学の勉強を先に進めればどんどん面白くなって来るのは確か.

演習自体は私は普通の人よりも考えるのは遅いし, 字が汚いのに書くのも遅いし, ゆっくりだからと言って丁寧に考えている訳でもないことが分かった. 年取ってそうなのは如何しようも無いので変なことを言わないように経験値でカバーするしかないんだけれど, 『複素函数論』『代数学I』は家でじっくり考えるスタイルなので, 初見で素早く解くスタイルのこちらの方も学習状況を推定するにはそれらとは違って意味がある.

今日は『幾何学I』の初回. 位相空間ー連続ー局所的ユークリッド空間ー多様体辺りの繋がりで座標に依存しない性質を座標変換で解析しやすくするのがモチベーション. 初回は復習のような話だった.

位相多様体の時点でHausdorffかつ第二可算を考えると大分素性は良くなるので, 見たい性質がそうしても構わないのか, そう出来ないのか, 若しくはそれで消えてしまう性質を見たいのかを考える必要が出て来る. さらに$C^{\infty}$多様体を取れば一段と素性は良くなる.

演習では$C^{\infty}$多様体のアトラスの取り方によってはチャートが$C^{\infty}$にならない例が出て来た. 勿論構造的な物なので, 絶対値の関数など微分不可能な点を含んでいると場合によってはそうなる. Atlasは英語になっているけれど, 元々はギリシャ神話由来.

環のある特定の部分集合としてイデアルを導入し, そこを基準に見た世界としての剰余環, 整域と素イデアル, 体と極大イデアル, それらとZornの補題などを用いて極大イデアルの存在, 代数的には方程式系に解が存在することを示す. 有限性と無限性を考える時に重要なHilbertの零点定理に向けた基礎作りをする. そして加群も導入.

初回は復習といろいろな概念の導入で終わったけれど, 板書以外にも重要なことを述べられることもあるので, 真面目に聴いておいた方が良さそう.

今日は『代数学I』の初回. 環の構造から空間を規定するか, 空間の関数としての環を捉えるかの二通りの考え方がまず哲学としてある. ブルバキ流に構造を集合や圏の対象として, 準同型を保つ写像を考える. 「構造生物学」と言うと生体高分子の立体構造の研究になってしまうけど, 本来は生物学的な構造は様々な生物学的事象に現れる筈で, 私のpreprintも生物の階層構造の認識にそれを使っている.

『代数学I』は基本的に単位元を持つ可換環の話. 半群よりも先のモノイドまで行く. 多項式環をテンソル積と対称積から導入するのはイントロとしては大変なので, 大雑把に導入する.

あるニッチの状態を係数として, ニッチ間の絡まった関係を特定の式に従った変数と見て形容すると多項式環はヘテロなニッチを表せることになる. Gröbner基底を使って多変数多項式の簡約化を一意に行えば問題が考えやすくなることもあるけど, それはまだ後の話.

Riemann面の簡単な導入ということだけれど, 今期は幾何学の授業と並行してGunning "Lectures on Riemann Surfaces" も勉強しておこうと思うので, いいイントロになりそう. 『複素函数論』ではMontelの定理とRiemannの写像定理が1つの目標なので, グループを作って写して行く手法の基礎をきっちりマスターしたい. 時間発展を考える基礎もここにある.

今日は『複素函数論』の初回. 先ずは正則関数の基本事項の復習. 複素解析の醍醐味をざっとおさらいする.

そもそものモチベーションであるCauchy-Riemann方程式からホモトピー とCauchy積分定理, Cauchy積分公式, 条件付けが強力なLiouvilleの定理, 集積点についての一致の定理, 広義一様収束に関するWeierstraßの定理, Laurent展開, Riemannの可除特異点定理, 極に関する定理, 有理型関数などについて.

複素解析の諸定理と孤立特異点に関し, 素性の比較的良い函数をどう処理して行くかを取り敢えず思い出してみて下さいという話だった. これを携えてRiemann球面の自己同型や有理型関数を考えて行くことになる.

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