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一般にと但し書きをしたのは,先のtootにもある通り値域が有限集合の場合は不要だったり,或いは定義域に整列順序が入っている場合は(各元の逆像に対し最小限は一意に定まるので)不要だったりするからです.

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尤も選択公理が必要である(回避できない)ことは,任意の非空集合からなる集合族に対して選択関数を構成できることを示すなど,もう少しマジメな議論が必要です.

全射から単射を作ろうとすると逆像から一斉に選ぶ操作をしたくなりますが,一般の場合はここで選択公理を使いますね.

有限集合だったらば帰納法でOKですね.

亀エアリプですが,僕も納得いっていない(差し当たり気持ちをtootした次第)

$\mathsf{Set}^{\mathcal{C}^{op}}$たんマジ可愛い

\[
n=\sqrt{n^2}
=\sqrt{1+(n-1)(n+1)}\\
n=a^{(n-1)}_{m}(m\in\mathbb{Z}_{>0}, n\in\mathbb{Z}_{>1})\\
b_{n-1}=\lim_{m\rightarrow\infty}a^{(n-1)}_{m}=\lim_{m\rightarrow\infty}n=n\\
\sqrt{ 1+2\sqrt{ 1+3\sqrt{ 1+\cdots } } }=b_2=3
\]

$n^2=1+(n+1)(n-1)$で倒せそうだけどどうなんだろ

若干嘘で,§2で既に少し必要でした.この部分についてはベーシック圏論とかが手っ取り早いかも.

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雪江代数2か永田可換体論§2+α程度が身についていればBorceuxは読み始められます.ただBorceuxも§3の後半に至ると次第に圏論の知識が仮定されていくので適宜CWMやHoCAなどで補う必要はあると思います.

この手の主張はFibonacci数列に限ったものではありません.漸化式で与えられる数列であって先の性質(弱い方と強い方がありますが,好きな方)を満たすものを色々作ってみたり,更に一歩進んで十分条件を考えたりすることは面白いと思います.

先のtootに於いて$N$に対して存在を主張した自然数の集合$\{n_1,\dots ,n_m\}$は一意性が担保されない(実際一意でない例がある)が,更に$1\leq i,j\leq m$なる任意の自然数$i,j$について$|n_i-n_j|\not=1$を満たすという条件を課すと一意に存在することが分かります.

高校数学といえば,僕は次の問題が好きでした.
Fibonacci数列$F\colon \mathbb{N}→\mathbb{N}$について,次の性質が成立することを示せ:
任意の自然数$N$に対して,自然数の集合$\{n_1, \dots n_m\}$であって
\[
N=\sum_{i=1}^mn_i
\]
を満たすものが存在する.

集合$X$について,$X$の濃度が2以上ならば離散位相を入れた空間から密着位相をいれた空間への恒等写像は連続全単射だが逆が不連続ですね.

圏$\mathscr{C}$に於ける図式$\mathscr{I}$上の極限は,$\mathscr{I}$上の$\mathscr{C}$に値を取る錐の圏の終対象ですね.

尚,有限左近体(半分配体)は7つの例外を除きDickson近体に限るという話があったりします

有限可換体がそれで尽きていることを示す方が容易(それはそう)

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Galois theoriesが読みやすいと思う

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