これ、「可換律のみを課す代数」の自由代数になってる気がする。

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というか、$S$ 上の可換で結合的な演算 $*$ と、適当な関数 $f\colon S\to S$ に対して、$x*'y=f(x*y)$ で定義される $*'$ は、明らかに可換だが、ほとんどの場合で結合律を保たなさそう。

素数全体の集合 $\mathrm{P}$ の上で、$x*y$ を「$x+y$ の最大の素因数」で定義すると、明らかに可換だが、結合的ではない ($2*(3*5)=2*2=2$、$(2*3)*5=5*5=5$)。

自明な例として、$x*y=\{x,y\}$ もある。どの集合上で定義するかが問題だけど、$\emptyset$ を含む最小の集合 ($\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\},\{\{\emptyset\}\},\ldots$) を考えると可算にはなる。

NAND ($x*y=\neg\left(x\land y\right)$) は可換だが結合的でない演算ですね。
$\{0,1\}$上のブール代数で考えれば $0*(0*1)=1$、$(0*0)*1=0$です。

$x^2+y^2=3$には有理点がないらしい

$a_0\geq a_1\geq\cdots\geq a_n>0$として、$a_0\geq\sum_{i=1}^na_i$ならば\[\int_{-\infty}^\infty\prod_{i=0}^n\frac{\sin(a_i x)}{a_i x}dx=\pi\]になるらしい。$a_0<\sum_{i=1}^na_i$なら$\int\cdots dx<\pi$。

証明は簡単でした。

そもそも$q_n$は、$n$元集合の部分集合$X$と$X$上の対合$\pi$の組$(X,\pi)$の数と等しい。

$n$元集合を$\{1,\ldots,n\}$として、要素$n$は、$n\not\in X$であるか、$n\in X$であり$f(n)=n$であるか、$n\in X$であり$f(n)\neq n$であるか、のいずれか。

$n\not\in X$のときは$q_{n-1}$通り。
$n\in X$であり$f(n)=n$のときは$X'=X\setminus\{n\}$、$f'=f|_{X'}$を考えて$q_{n-1}$通り。
$n\in X$であり$f(n)\neq n$のときは、$f(n)$の行き先が$n-1$通りで、$X'=X\setminus\{n,f(n)\}$、$f'=f|_{X'}$を考えて、$(n-1)q_{n-2}$通り。

よって$q_n=2q_{n-1}+(n-1)q_{n-2}$。

要は、
oeis.org/A005425

https:/oeis.org/A000085
と二項係数の畳み込みになる。

$n$元集合上の対合の数を$p_n$とする。
$k$個の置換の積でかけるもので場合分けすると、\[p_n=\sum_{k=0}^{[n/2]}\frac{n!}{2^kk!(n-2k)!}\]が示せる。
$q_n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}p_k$とする。
このとき、なぜか$q_n=2q_{n-1}+(n-1)q_{n-2}$が成り立つ…

数オリ予選の11番、面白い。
自明な解は$F(A)=\overline{A}$や$F(A)=\emptyset$で、色々実験してみると、$F(A)=\overline{A}\cap X$が条件を満たすことがわかる。
全単射$f\colon S\to S$が$f^2=\operatorname{id}_S$なら、$F(A)=f\left(\overline{A}\right)$も条件を満たす。
合わせ技の$F(A)=f\left(\overline{A}\right)\cap X$も、$f|_X=\operatorname{id}_X$であれば解になる。
実は、解はこの形に限られる(ここが難しい)。
ここまで示せれば(もし本番なら示さずに認めるかも)、$X$の要素数を決めるごとに許される$f$の個数が計算できて終わり。

試しに画像を添付しようとしたら「エラー!不明なエラーが発生しました。」と出た。
Ubuntu 16.04 + Google Chrome 71.0.3578.98 (+ Mastodon可変カラム)
Ubuntu 16.04 + Firefox 64.0

$\omega$個の二元集合から選択できることすら、$\mathrm{ZF}$では示せないらしい。

Mathematicaによると、$m>0\land m\neq1/2$のとき非自明な解が一意に存在するらしい。
\[x(m)=\begin{cases}2+\frac{1}{m}W_{-1}(-2me^{-2m})&0\lt m\lt 1/2\\2+\frac{1}{m}W_{0}(-2me^{-2m})&1/2\lt m\end{cases}\]
wolfram alphaもいい感じに答えてくれてた。
wolframalpha.com/input/?i=solv
mathtod.online/media/r9FV0XMIZ

分母を払って$x=0$を代入したら成り立つから仕方ない

selpo boosted

$N\leq 400$での片対数グラフ。$E_N$は青線で、比較用に$1/N$、$1/N^2$をつけた。
mathtod.online/media/Njyzi3r73

$N\geq 1$を自然数として、$f_N\colon[0,1]\to\mathbb{R}$を、$f_N(x)=\min_{0\leq i\leq j\land1\leq j\leq N}\left|x-\frac{i}{j}\right|$で定める(分母$N$以下の有理数による最良近似の誤差)。
平均誤差$E_N=\int_0^1 f_N(x)dx$は$N\to\infty$でどう振る舞うか?

selpo boosted

@selpo
y=0 のとき$$18x^4+24x^3+41x^2-38x+7=0\\(3 x-1)^2(2x^2+4x+7)=0$$$-10\lt0$ より実解は $\frac13$ のみ

x=0 のとき$$80y^4-200y^3+197y^2-66y+7=0\\(4y-1)^2(5y^2-10y+7)=0$$$-10\lt0$ より実解は $\frac14$ のみ

「直線のグラフ」を信じるなら $3x+4y-1$ で1度でも因数分解できればビンゴなので検算。\begin{align}与式=&(3x+4y-1)(6x^3+8x^2 y+15xy^2+20y^3+10x^2-14xy-45y^2+17x+38y-7)\\
=&0\end{align}

あとはグラフ書くだけですが・・・
この因数分解、最高次数の係数を1にすると分数でてきちゃうし苦行すぎませんか??(;´∀`)

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