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tsujimotterさん @tsujimotter

位数 $N$ の点 $P$ を持つ楕円曲線の条件を与える方程式立てればいいので、たとえば $N = 11$ とすると、$11P = \mathcal{O}$ を具体的に解けばいいことになります。

面白いのが、モジュラー曲線が $\mathbb{Q}$ 上定義できるので、その有理点が「位数 $N$ を持つ $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線」に対応するわけですね。

ということは、モジュラー曲線を代数曲線として考えてその有理点を数えれば、対応する位数 $N$ の点を持つ $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線を数え上げることになるんです。

$N = 1, 2, \ldots, 10, 12$ のとき、モジュラー曲線 $X_1(N)$ は種数0の代数曲線になります。種数0より、1個でも有理点を持てば無限に有理点を持つ。よって上記の $N$ に対して、位数 $N$ を持つ無限に多くの $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線が存在する。

モジュライとして考えることで同じ条件を持つ楕円曲線をまとめて考え上げることができてしまうのですね。これがモジュラー曲線の面白いところと思います。

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