あと、最近興味あることとしては、モジュラー曲線の勉強をしているときに出てきたモジュラー多項式 $\Phi_N(x, y)$ です。

$y=x$ として $\Phi_N(x, x)$ を因数分解すると、類多項式 $H_d(x)$ が因数に現れる(たぶん。類多項式はdを判別式に持つ2次無理数に対応する $j$ 関数値の最小多項式になっている)。

この類多項式が $p = X^2 + nY^2$ とかける素数の条件に関係しているらしい。具体的には、$(-n/p) = 1$ かつ $H_n(x)\equiv 0 \pmod{p}$ が解を持つ的な条件だったと思う。

このあたりの話が Cox の Primes of the form の11章あたりに書いてあった。ずっと追いかけていたトピックなので、ぜひとも理解したい。

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おお、そうか。類数が 1 なら $H_n(x)$ は次数 1 になって、自動的に $\bmod{p}$ で根をもつのか。面白いな。

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