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tsujimotterさん @tsujimotter

逆極限を取っても両者が同型だと言うためには、同型写像と逆系の写像が可換(つまり自然変換)になっていなきゃいけない、という理解(合ってるかしら)

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@tsujimotter そうです.自然変換になってない例としては,
\[
\dots\to\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}
\]
という形の逆系で,これらの写像が全部恒等写像であるものと,全部零写像であるものを考えると,各項は(各項の恒等写像により)同型だけど函手の射にはなってないですね.そして前者の逆極限は $\mathbb{Z}$ で後者の逆極限は $\{0\}$ です.

@tsujimotter
圏$\mathcal{C}$
の逆系のなす圏$\mathcal{C}^I$の射$\{ f_i: A_i \to B_i \}_{i \in I}$
で,$f_i$が同型の時,逆極限は(存在すれば)同型になります.

それは逆極限の定義から言えます.逆系のなす圏の射でない,つまり,図式で回らなければ同型でないものがあります.例えば$\{ \mathbb{Z}/p^n \}_{n \in \mathbb{Z}_{\ge 0}}$に対し,
$f_n$を自然な全射,$g_n$を0写像とすると,
自然な全射なら$\mathbb{Z}_p$になりますが,0写像なら逆極限は0になります.

自然変換だからと言うよりは,逆系の間の射だから同型であり,
自然変換は射を作る例,あるいは方法として理解した方がいいと思います.
例えば逆系のなす圏$$\mathcal{C}^I$から$\mathcal{D}^I$への関手$F,G$に対し,
自然変換$\eta : F \Rightarrow G$は逆系の間の射を定めます.