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tsujimotterさん @tsujimotter@mathtod.online

日曜数学会のスライドを作っているのですが、今回の話はさすがにちょっと難しすぎたかもしれない・・・。

おお、そうか。類数が 1 なら $H_n(x)$ は次数 1 になって、自動的に $\bmod{p}$ で根をもつのか。面白いな。

あと、最近興味あることとしては、モジュラー曲線の勉強をしているときに出てきたモジュラー多項式 $\Phi_N(x, y)$ です。

$y=x$ として $\Phi_N(x, x)$ を因数分解すると、類多項式 $H_d(x)$ が因数に現れる(たぶん。類多項式はdを判別式に持つ2次無理数に対応する $j$ 関数値の最小多項式になっている)。

この類多項式が $p = X^2 + nY^2$ とかける素数の条件に関係しているらしい。具体的には、$(-n/p) = 1$ かつ $H_n(x)\equiv 0 \pmod{p}$ が解を持つ的な条件だったと思う。

このあたりの話が Cox の Primes of the form の11章あたりに書いてあった。ずっと追いかけていたトピックなので、ぜひとも理解したい。

って感じのことを書くと思います ^_^

といっても、今は日曜数学会の準備があるので、しばらくはそちらに専念します。また来週。

位数 $N$ の点 $P$ を持つ楕円曲線の条件を与える方程式立てればいいので、たとえば $N = 11$ とすると、$11P = \mathcal{O}$ を具体的に解けばいいことになります。

面白いのが、モジュラー曲線が $\mathbb{Q}$ 上定義できるので、その有理点が「位数 $N$ を持つ $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線」に対応するわけですね。

ということは、モジュラー曲線を代数曲線として考えてその有理点を数えれば、対応する位数 $N$ の点を持つ $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線を数え上げることになるんです。

$N = 1, 2, \ldots, 10, 12$ のとき、モジュラー曲線 $X_1(N)$ は種数0の代数曲線になります。種数0より、1個でも有理点を持てば無限に有理点を持つ。よって上記の $N$ に対して、位数 $N$ を持つ無限に多くの $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線が存在する。

モジュライとして考えることで同じ条件を持つ楕円曲線をまとめて考え上げることができてしまうのですね。これがモジュラー曲線の面白いところと思います。

最近は、モジュラー曲線に関心があってそのシリーズ記事を書いています。この記事の続きを来週ぐらいまでに投稿したいと考えています。
tsujimotter.hatenablog.com/ent

次回はモジュラー曲線 $X_1(N)$ についての予定。$X_1(N)$ をモジュライ解釈すると、$X_1(N)$ の各点 $\tau$ がレベル構造つき楕円曲線 $(E, P)$ と見なせます($P$ は $E$ の位数 $N$ の点)。このように考えると、モジュラー曲線の具体的な定義方程式が比較的簡単な手続きで求められるというのが次回話したいことです。

そうだ、twitterではあんまり書かないけど、ブログに今書こうとしていることとか書いてみようかな。

mathtodonってTwitterと連携とかってできるんでしたっけ?

twitterのタイムラインにあてられたのでマストドンに避難してみた。

今朝、これについて納得できる説明を得たのでメモ。

楕円曲線で出てくる不変微分形式 $\omega_E$ って一体何なんだろう。

$\omega_E = \cfrac{dx}{2y + a_1x + a_3}$

めっちゃ久しぶりに mathtodon にログインした。トゥース!

アルティンのガロア理論よんでいたら、群の指標の双対性についてわかりやすくまとめてあって目からウロコだった。

$0\leq i \leq p^f - 1, \; \gcd(p, i)=1$ に対して $\xi_i = 0$ のとき,
$$ \sum_{j=0}^{p^{f-1} - 1} \xi_{pj} = \sum_{i=0}^{p^{f} - 1} \xi_{i} $$
が成り立つ。

が理解できなくて,半日ぐらい悩んでいました。図をいろいろ書いていたらやっとわかった。


拡張された上半平面 $H^* = H \cup \mathbb{P}^1(\mathbb{Q})$ の $\Gamma(1)$ による商空間 $X(1) = \Gamma(1)\backslash H^*$ をモジュラー曲線というらしい。

$Y(1) = \Gamma(1)\backslash H$ として
$X(1)\backslash Y(1)$ を $X(1)$ のカスプというらしい。$X(1)$ は唯一つのカスプ $$X(1)\backslash Y(1) = \{\infty\}$$ をもつ。


上半平面 $H$ の $\Gamma(1)$ による商空間 $\Gamma(1)\backslash H$ は球面から一点を除いた空間と位相同型とのこと。

具体的な円分体のイデアル類群のp部分について、知られている実際の構造と岩澤加群の構造定理から導いた構造がちゃんと一致してテンションが上がっています。