ゆう@大学数学基礎から @uy@mathtod.online

理系で大学入ったら集合と論理の前にいきなりこれやるもんなのか…？だとしたら無理ゲーでは…？

限量子の証明の練習問題として出てきただけでイプシロンデルタは初めて使った。ビビってたけど記号化すれば抵抗感はかなり薄れるなあ(尚理解はそこまでしていない)

$\delta = \frac{1}{2}\varepsilon$とするとこれも正の実数である。

$$\begin{eqnarray*}
|\frac{2x^2 -5x-3}{x-3} -7| &=& |\frac{(2x+1)(x-3)}{x-3} -7|\\
&=& | 2x -6| \\
&=& 2|x-3|< 2\delta = 2(\frac{1}{2}\varepsilon)=\varepsilon
\end{eqnarray*}
$$

(証明終)

$$\lim_{x\to 3}\frac{2x^2 -5x-3}{x-3} = 7$$を証明する。

(証明)

$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta >0 \forall x(0 < |x-3| < \delta \Rightarrow |\frac{2x^2 -5x-3}{x-3} -7| < \varepsilon)$

$\varepsilon$を任意の正数とする。
$\delta = ( \textrm{a certain value}) \ (\delta > 0)$とする。(これは書かないけど)
$0 <|x-3| < \varepsilon$と仮定する。
$x$を任意とする。

そのとき、$|\frac{2x^2 -5x-3}{x-3} -7| < \varepsilon$を証明する。

限量子を含んだ証明を最近練習していたけど、これ使えるとイプシロンデルタ論法使えるのか…そんなに怖いもんでもない感でてきた…

pは素数である。

$p>1 \land \forall r,s \in \mathbb{N}(p = rs \Rightarrow (r = 1 \lor s=1))$

数年前に数学わからんくてそっ閉じしたアルゴリズムデザインとアルゴリズムイントロダクション(鈍器)、自分なりに大学基礎数学やってきたので証明も怯まず読めそうな感じがしてきた。気がするだけだがとても嬉しい。。

$\forall x \in A: P(x) \equiv \forall x(x \in A \to P(x))$

$\exists x \in A:P(x) \equiv \exists x(x \in A \land P(x))$

例えば、
$\forall x \in \mathbb{R}^+ \exists y \in \mathbb{R}^-(y^2 =x)$は
$\forall x (x \in \mathbb{R}^+ \to \exists y \in \mathbb{R}^-(y^2 =x))$となり、さらに
$\forall x (x \in \mathbb{R}^+ \to \exists y (y \in \mathbb{R}^- \land y^2 =x))$
$\forall x (x > 0 \to \exists y (y < 0 \land y^2 =x))$

にできる。
なるほど...。便利だ。

証明には論理式残さないのが普通っぽいんだけど、残さないと復習のときになんでこうしたのかよくわからんくなる。

$(A = \emptyset \lor B=\emptyset \lor A=B)\Rightarrow A \times B = B \times A$を証明する。

$A=\emptyset$のとき、$\emptyset \times B = \emptyset = B \times \emptyset$
$B=\emptyset$のとき、$A \times \emptyset = \emptyset = \emptyset \times A$
$A=B$のとき、$A \times B = A \times A = B \times A$
より成立。

以上より、
$A \times B = B \times A$となるのは、$A = \emptyset$または$B=\emptyset$または$A=B$のときのみである。

(証明終わり)

$\lnot(A = \emptyset \lor B=\emptyset) \Leftrightarrow (A \neq \emptyset \land B \neq \emptyset)$より、

$A \neq \emptyset \land B \neq \emptyset$のとき、$A=B$を示す。

$x$を任意の元として$x \in A$とし、$B \neq \emptyset$なのである$y\in B$が存在する。仮定より、$(x,y)\in A \times B = B \times A$とできるので、$x \in B$である。なので、$A=B$である。

次に、$x \in B$とする。$A\neq \emptyset$なので、ある$z \in A$が存在する。仮定より、$(x,z)\in B \times A = A \times B$とできるので、$x \in A$である。なので、$A=B$である。

(証明)

$A \times B = B \times A \Rightarrow (A = \emptyset \lor B=\emptyset \lor A=B)$を証明する。

$A \times B = B \times A$と仮定する。

$A = \emptyset\ \lor B = \emptyset$のとき、成立する。

(論理式は残しています)

定理
$A,B$を集合とする。
$A \times B = B \times A$となるのは、$A = \emptyset$または$B=\emptyset$または$A=B$のときのみである。

定理
任意の集合$A$と空集合$\emptyset$の直積について、$A \times \emptyset = \emptyset \times A =\emptyset$

証明

$(A \times \emptyset = \emptyset) \land (\emptyset \times A = \emptyset)$を証明する。

$A \times \emptyset \neq \emptyset$とする。そのとき、$A \times \emptyset$は少なくとも一つ以上の要素をもつが、$A \times \emptyset = \{(x,y)| x \in A \land y \in \emptyset\}$は偽なので、矛盾。これより$A \times \emptyset = \emptyset$

$\emptyset \times A = \emptyset$の場合も同様。

以上より、
$A \times \emptyset = \emptyset \times A =\emptyset$

(証明終)

真部分集合は$A \subsetneq B$よりも$A \subset B$、部分集合は$A \subset B$よりも$A \subseteq B$と表すほうがしっくりくるなあ...

集合$A$の冪集合は$\mathscr{P}(A)=2^A=\{X|X\subseteq A\}$と定義される。

また、$A$の部分集合$X$は冪集合の要素になるので、$X \subseteq A \Leftrightarrow X \in 2^A$

そして、
集合族$\{ A_{\lambda} \}\lambda \in \Lambda$が$A$の部分集合族である時、

$\forall \lambda \in \Lambda:A_\lambda \subseteq A$が成り立つが、これを冪集合を用いて表現すると、$\forall \lambda \in \Lambda:A_{\lambda} \in 2^A$となる。

ほえー、論理式における束縛変数は真理値表には影響しないけど自由変数は真理値表に影響するのか。初めて知った。自由なんだからなんでもええんやろと逆に解釈していた。

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%94%B1%E5%A4%89%E6%95%B0%E3%81%A8%E6%9D%9F%E7%B8%9B%E5%A4%89%E6%95%B0

細かいですが、$x$の取りうる値が以上なのかより大きいのか(逆も然り)を判別するためにグラフに●か○を付けたほうが良いかと思われます。ループ文でi<=nなのかi<nなのかハッキリしないと意図しない挙動になりうるのと同じイメージ。

集合と濃度メモ

ある集合の要素が集合である集合を集合族という。

濃度についてはきちんとやっていないが、①有限集合($n \in \mathbb{N}$)、②加算無限集合($\mathbb{N},\mathbb{Q},\mathbb{Z}?$)、③非加算無限集合($\mathbb{R},\mathbb{C}$)がある。

そして、集合族で①有限集合を表現する場合、
$\{A_i |i \in \{1,2,\cdots,n\}\}$や$\{A_i\}_{i \in \{1,2,\cdots,n\}}$や
$\{A_i\}_{i=1}^{n}$や$\{A_n\}$などのように表す。

②加算無限を表現する場合、
$\{A_n|n \in \mathbb{N} \}$や$\{A_n\}_{n \in \mathbb{N}}$や$\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$や$\{A_n \}$のように表す。

添字集合族は、①または②または③非加算無限を表すことができる。

$\{ A_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$とか書いたりする。