ゆ a.k.a ポイセンぱいせん @uy@mathtod.online

スプラに関するアドバイスは気軽にくれるととてもありがたいけど、息抜きとしてゆるゆるやっているので少しずつ改善してけばいいやくらいのスタンス

ちなみにGPUインスタンスではない

GCPのUbuntuインスタンスにCinamonデスクトップ環境入れてChormeリモートデスクトップ+Steam on linuxでテンションバク上げ仕様としたけど、CRDでアクセスするには3Dアクセラレーション切らないといけない+ssh -XをしないとDISPLAY環境変数がいい感じには動かないようなので厳しそう。2Dはなんとかできそうだが…

これが後にいぬねこ大論争と呼ばれる、いぬかわいい学派との論争の始まりである。

今のところのすごいざっくりとしか把握していないけど論証の妥当性から論理的帰結の話になるのかー…。

前提条件としては、私は
「論理式が妥当であること」は「論理式が現実的に使えるロジックである」ことの必要条件である。
また、「事実について真偽の判断ができること」は「論理式が現実的に使えるロジックである」ことの十分条件と把握している。(つまり、この時点で論理学の話の範疇ではない)

例えば、「ベニテングタケは毒キノコである」「毒キノコは食べられない」ならば、「ベニテングタケは食べられない」という結論になるが、これは妥当である。

なぜならば、論理学における妥当の定義が「前提がすべて真であり、かつ、結論が偽となるような原子式の真理値割当てが存在しない」ことであり、上記の例でこのような例が存在しないためである。

しかし、「ベニテングタケは食べられない」という結論が導かれたにもかかわらずこの命題は偽である。なぜならベニテングタケは適切に処理したら食べられるためである。この結論と「ベニテングタケは適切に処理したら食べられる」事実を元にした判断の乖離は「論理式が現実的に使えるロジックである」ことを元にしたため生じた話である。

cmplstofbさんのおっしゃるとおり、形式的な妥当(valid)という言葉は「真偽はどうであれ、三段論法みたいな雛形に則って、大前提と小前提により結論が導かれること」くらいの意味で使いました。ちょっと私が整理しきれていないのでこの後格闘してみます。

AならばB、A。ゆえにBみたいな形を(形式的)妥当って捉えていたけど、すべての前提が真かつ結論が偽にならない論証が妥当なのか。なんか前者は論理的であるための必要条件を言っているようながするけど後者は論証の必要十分条件のようなものを言っている気がする。整理できていないからちょっと考えよう。

論理学における「妥当」は前提$A_1, \ldots, A_n$を1、かつ結論$C$を0とするような反例が存在しないことを指し、 $A_1, \ldots, A_n\vDash C$と表される(セマンティクス,意味論における論理的帰結)
ってことまではわかった。

論理学ってフォーマットに則っているのであれば妥当(=つまり形式的なもの)と捉えていたけど、シンタクスじゃなくてセマンティクス扱いなのか。。$\vdash$はまだ理解できていないからわからないけど。。

完全性定理の理解はまだまだ時間が掛かりそうです。

最近自分なりに述語論理みっちりやったので否定選言連言一意性否定条件背理法らへんの証明も目処が立ってパズルに思えてきた。数学的帰納法は前件肯定を使いまくって$P(n) \to P(n+1)$を証明することしか知らん。

また、ここからはあっているかどうかわかりませんが、

$\exists x ( x \in \emptyset \land P(x))$は$\exists x ( x \in \emptyset) \land \exists xP(x)$のように分配法則が成り立たないので$P(x)$は束縛されているかどうかはわからない。
そして、閉論理式の集合を$\Gamma$(や$\mathfrak{A}$)とし、閉論理式は自由変数のない束縛変数で構成されている論理式であるのであれば、束縛されていない(のかどうかわからないけど)$P(x)$は$\Gamma \not \models P(x)$である。

だと解釈しました。

$\mathfrak{A}$が$\Gamma$を意味しているのはわかりませんが($\mathfrak{A}$はおそらくなんらかの閉論理式の集合)

$\mathfrak{A}$に含まれるモデルをどう頑張って組み合わせても$\exists x ( x \in \emptyset \land P(x))$は真にならないので$\mathfrak{A} \not \models \exists x ( x \in \emptyset \land P(x))$と書くと解釈しました。

モデルとか$\models$とかがわからなかったので「論理学をつくる」(戸田山和久)を読んでいて返信が遅れました。

以下のように解釈しています。

命題論理における真理値表を述語論理に置き換えたものがモデル、閉論理式(=自由変数のない束縛変数で構成されている論理式)を$A$、閉論理式の集合を$\Gamma$とする。

$\Gamma$から$A$が論理的に帰結することを$\Gamma \models A$といい、$\Gamma$の要素から構成されるすべてのモデルで$A$も真である。

ちなみに$A \land P \Leftrightarrow \lnot (A \to \lnot P)$の真理値表もA=偽として(命題論理だけど)書いてみたのですが、Pは真または偽でした。

徒労に終わりそうな感じがするので、$\exists x \in A \lnot P(x)$のはなしではなく$\exists x(x \in A \to P(x))$と$\exists x(x \in A \land P(x))$について以下のような理解にとどめておきます。こゝろめいあんさんと表示名さんご丁寧にありがとうございました。

$\exists x(x \in A \to P(x))$で$A=\emptyset$のとき、

$x \in A$は偽

$P \to Q \Leftrightarrow \lnot P \lor Q$より

$\exists x(x \in A \to P(x))$は偽。

それとは別の命題として

$\exists x(x \in A \land P(x))$で$A=\emptyset$のとき、
$x \in \emptyset$は偽なので$\exists x(x \in A \land P(x))$は偽（$P(x)$はしらん）

デスクトップがUbuntu18.04LTS+Ryzen7 2700X+RTX2060+RAM16GB+CPUクーラーAsassin3だけど一切使っておらず漬物石と化しているから売ろうと思っていたけどリモートデスクトップのホストにしようかなあ...

emptysetトphiハベツモノ、パイセンオボエタ

ご意見参考にして考えたけど一切意味がわからん。数行の文で行間読みまくってここまで苦しめられるのは初めてだ…。

翻訳書の見ても英語の原書の該当箇所みても同じこと書いてあるからtypoじゃないと思うんだけど納得できん

$\exists x\in A P(x)$は$\exists x(x\in A \land P(x))$だけど、$A = \phi$のとき、$\exists x\in A P(x)$が偽になるのはわかるけど、$P(x)$が真になる理由がわからない。$A = \phi$で空っぽなんだから$P(x)$判定しようがなくないか…？プログラミング的には空っぽはnullだと思うけど、nullでも真になるの…？