ゆう@大学数学基礎から @uy@mathtod.online

多分一生使うと思うので新品で岩波数学入門辞典を購入した！！！

あー、Desmosで確認したけど、

$\log_{e}\left(e\right)^{3} =\left(\log_{e}\left(e\right)\right)^{3} = \log_{e}\left(e\right) = 1$
だけど

$\log_{e}\left(e^{3}\right) = 3\log_{e}\left(e\right) = 3$

なのかあ

ネットの記事参照しているからアレだけど、$a \in R$だと思われる...

$(\log_e e)^3 = 1$っぽいんだけども、
$(\log_e e)^3 = 1^3 = 1$なのか、
$(\log_e e)^3 = \log_e e^3 = 3 \log _e e = 3$なのかしっくりこない。。。

$(a^n)^m=a^{n\cdot m} (n,m \in N^+)$なら
$(\log_e e)^3 = (\log_e e ^1)^3 = (\log_e e^3) = (3 \log_e e) = (3 \cdot 1) =3$
になりそうなんですが、どなたか教えていただけないでしょうか。。「括弧の内側を先に計算すべき」なら$(\log_e e)^3 = 1^3 = 1$という理屈はわかるんですけど、括弧の内側から先に計算すべき理由がわからないです...

面白すぎて眠れなくなる○○ ≒ 面白いほど眠くなる○○

知識整理したら逆三角関数の微積分そんな難しいもんでもなかった…

逆三角関数の微分の導出の方法は概ね同じっぽいのでまとめた。

### 逆三角関数の微分の全体像

まず、$\frac{dx}{dy}$を$x$と$y$の範囲とともに算出する。範囲を算出しないといけないのは逆関数はそもそも一対一対応していないといけないから。
そして、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$を変形して代入。範囲から$\pm$を確定させる。

しかし、$\frac{dx}{dy}$は(xの式)であり、いま欲しいのは$\frac{dy}{dx}$という(yの式)。なぜyの式でないといけないかというと$y = f^{-1}(x)= \cos^{-1} x$のように、これはyの式だから。そのために、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$という関係を使い、yの式を求める。それが逆関数の導関数になる。

数学の公式は暗記するもんじゃないんだから忘れるのは仕方ないとして、導出までの大枠を参照できるようになると非常にありがたい。

例えば三角関数なら「半角の公式」←「倍角の公式」←「加法定理」+「$\sin^2 x+ \cos^2 x = 1$」とか、「$(\sin x)′ = \cos x$」←「はさみうちの原理」みたいな感じで。

有向グラフで書き留めておけるなら最高だなと思ったがObsidanならMathjax+markdownでメモを残しつつ有向グラフで表示することができたので、かなりいいと思う。あとは補完機能が付いていれば最高なんやが...

$\sin$と$\cos$の積分、合成関数使って導出は普通に出来るんだけど公式として覚えられない…

GW前半は何もせず漫画とアニメしか見ていなかったことをここに告白致します

自然言語処理と述語論理で小泉進次郎が発言しそうな発言を作れるのではとおぼろげながらシルエットが浮かんできた

微積分やってるうちによくわからんくなってきたから色々と試したけど、
$ax^{\beta}$を
$n$回積分すると$\prod_{k=1}^{n} (\beta + k)^{-1} ax^{\beta + n}$、
$n$回微分すると$\prod_{k=0}^{n-1} (\beta - k) ax^{\beta - n}$
ぽい。
自作かつ証明できてないけど…。

$\zeta$とか達筆な「ら」にしか見えない

ギリシャかぶれのいろはうた　いろはにほへ$\xi$ちりぬる$\xi$

誰かが言っていたが職歴ロンダリングって言葉がしっくりくる。ギミジョブ。

$(\tan^{-1} x)' = \frac{1}{1 + x^2}$

(証明)
$y = \tan^{-1} x \Leftrightarrow x = \tan y$ $(-\frac{2}{\pi} \leq y \leq \frac{2}{\pi})$

$\frac{dx}{dy} = (\tan y)' = (\frac{\sin y }{ \cos y})' = \frac{1}{\cos^2 y}((\sin y)'\cos y - \sin y (\cos y)') = \frac{1}{\cos^2 y}$

$1 +\tan^2 y = \frac{1}{\cos^2 y}$より、$\frac{dx}{dy} = 1 +(\tan y)^2$

$x = \tan y$より、$\frac{dx}{dy} = 1 + x^2 $

$\frac{dy}{dx}= \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{1+ x^2}$

以上より
$(\tan^{-1} x)' = \frac{1}{1 + x^2}$
(証明終)

$(\sin^{-1}x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

(証明)
$y = \sin^{-1} x \Leftrightarrow x = \sin y$ $(-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2})$

$\frac{dx}{dy} = (\sin y)' = \cos y$

$\cos^2 y + \sin^2 y = 1 \Leftrightarrow \cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y }$ $(\because -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2} より\cos y \geq 0)$

$\frac{dx}{dy} = (\sin y)' = \sqrt{1 - \sin^2 y } $

$x = \sin y$より
$\frac{dx}{dy} = (\sin y)' = \sqrt{1 - x^2 }$

$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

以上より

$(\sin^{-1}x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

(証明終)

$y = f(x) = a^x (a > 0)$について$x=0$のときの微分係数$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}(a^h - 1)$を$1$としてネイピア数を求めるやり方よりも
$\int^{x}_{1} x^{\beta}dx=\frac{1}{\beta +1}(x^{\beta + 1} - 1)$を$1$としてネイピア数求める方が個人的にはイメージしやすいなあ

そういえばmathtodon.onlineって定理証明支援系の話題ないですね。そんな人気ないんだろうか。使えたら便利そうだけど。