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徒労に終わりそうな感じがするので、$\exists x \in A \lnot P(x)$のはなしではなく$\exists x(x \in A \to P(x))$と$\exists x(x \in A \land P(x))$について以下のような理解にとどめておきます。こゝろめいあんさんと表示名さんご丁寧にありがとうございました。

$\exists x(x \in A \to P(x))$で$A=\emptyset$のとき、

$x \in A$は偽

$P \to Q \Leftrightarrow \lnot P \lor Q$より

$\exists x(x \in A \to P(x))$は偽。

それとは別の命題として

$\exists x(x \in A \land P(x))$で$A=\emptyset$のとき、
$x \in \emptyset$は偽なので$\exists x(x \in A \land P(x))$は偽($P(x)$はしらん)

@uy
補足すると、$\exists x(x\in \emptyset\wedge P(x) )$の真偽は定義することができます。それは考えてるモデルの中に$x\in\emptyset$かつ$P(x)$を満たす$x$が存在するなら真、そうでないなら偽です。ただ$\emptyset$は元を持たない集合なので、そのような$x$は存在せず、このとき$\mathfrak{A}\not\models \exists x(x\in\emptyset\wedge P(x))$と書きます。

一方で、$P(x)$は$x$が自由なので真偽を定義しないのが普通です。つまり$\mathfrak{A}\models P(x)$や$\mathfrak{A}\not\models P(x)$みたいには書けません。

論理式の真偽は、論理式自体ではなく、モデルに応じて決まるものです。

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