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また、ここからはあっているかどうかわかりませんが、

$\exists x ( x \in \emptyset \land P(x))$は$\exists x ( x \in \emptyset) \land \exists xP(x)$のように分配法則が成り立たないので$P(x)$は束縛されているかどうかはわからない。
そして、閉論理式の集合を$\Gamma$(や$\mathfrak{A}$)とし、閉論理式は自由変数のない束縛変数で構成されている論理式であるのであれば、束縛されていない(のかどうかわからないけど)$P(x)$は$\Gamma \not \models P(x)$である。

だと解釈しました。

@uy
論理学にはシンタックス(形式)とセマンティクス(内容)に分かれます。

閉論理式(自由変数を持たない論理式)の集合$\Gamma$はシンタックスの概念です。$\Gamma$から推論規則に基づく形式的な操作によって閉論理式$A$が証明されるとき、$\Gamma\vdash A$と書きます。

一方でモデル$\mathfrak{A}$はセマンティクスの概念です。モデルにおいては閉論理式に対して、真偽値が再帰的に定まります。閉論理式$A$がモデル$\mathfrak{A}$において真のとき、$\mathfrak{A}\models A$と書きます。

そして、$\Gamma$の全ての閉論理式がモデル$\mathfrak{A}$において真のとき、$\mathfrak{A}\models \Gamma$と書きます。このような全てのモデル$\mathfrak{A}$について$\mathfrak{A}\models A$のとき、$\Gamma\models A$と書きます。

完全性定理とは、$\Gamma\models A$と$\Gamma\vdash A$が同値であるという主張です。

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