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(論理式は残しています)

定理
$A,B$を集合とする。
$A \times B = B \times A$となるのは、$A = \emptyset$または$B=\emptyset$または$A=B$のときのみである。

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(証明)

$A \times B = B \times A \Rightarrow (A = \emptyset \lor B=\emptyset \lor A=B)$を証明する。

$A \times B = B \times A$と仮定する。

$A = \emptyset\ \lor B = \emptyset$のとき、成立する。

$\lnot(A = \emptyset \lor B=\emptyset) \Leftrightarrow (A \neq \emptyset \land B \neq \emptyset)$より、

$A \neq \emptyset \land B \neq \emptyset$のとき、$A=B$を示す。

$x$を任意の元として$x \in A$とし、$B \neq \emptyset$なのである$y\in B$が存在する。仮定より、$(x,y)\in A \times B = B \times A$とできるので、$x \in B$である。なので、$A=B$である。

次に、$x \in B$とする。$A\neq \emptyset$なので、ある$z \in A$が存在する。仮定より、$(x,z)\in B \times A = A \times B$とできるので、$x \in A$である。なので、$A=B$である。

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