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mathtod.online/@ZassyA_math/52
この命題はPartition Principle (PP)と呼ばれるもので,ZFから証明できるかどうかは未解決です.
alg-d.com/math/ac/partition_pr

y. @waidotto

togetter.com/li/206507
このへんも参照.$\lvert\mathbb{R}/\mathbb{Q}\rvert>\lvert \mathbb{R}\rvert$でも$\mathsf{ZF}$とは矛盾しない.

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間違えました。ZFからPPは証明できません。ZF+PPからACが証明できるかが未解決です。