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無限降下法の類は「帰納的に無限降下列を構成して矛盾を導く」という論法と「背理法で初めから最小の解を取っておき,一段階下がった時点で矛盾に至る」という論法があって,論理的には同じことをやっているのに初学の頃は前者は厳密さに欠けるように見え,後者は技巧的すぎるように見える不思議

$i$と$j$が両方とも$1$から$n$までの範囲にあることを$1\leq i,j\leq n$と書くと「$1\leq i$かつ$j\leq n$」と紛らわしいのであまり好きじゃないんだけど,よい代替は思い付かない(「$1\leq i\leq n,1\leq j\leq n$」だと長すぎるし,実数を使わないなら$i,j\in[1,n]$でもいいけど初見で分からないし,$i,j\in[1,n]\cap\mathbb{N}$だと無駄に複雑すぎる)

Smaleの問題のSmale(高次のPoincaré予想を解決)ってBlum-Shub-Smale machineのSmaleと同一人物なのか.びっくり

Julia Robinson & Hilbert's Tenth Problemというドキュメンタリーを見たら知ってる名前がいっぱい出てきて面白かった

Wangのタイル貼り問題のときに参考にした文献のRaphael M. RobinsonってHilbertの第10問題で有名なJulia Robinsonの夫だったのか.世間は狭いなあ……

四平方和定理,four-square theoremなのかfour-squares theoremなのかわからない(ググるとfour-squareの方が多い)

いやでも完全不連結だからいくらでも細かい連結成分にぶった切ってそれらの間の同相写像を個別に作ればいいのか.それならなんかできそうな気がする.

孤立点のない可算な距離空間は全部同相らしいので特にℚとℚ^2は同相なはずなんだけど,具体的にはどういう同相写像がとれるんだろう.全然想像できない

そろそろCombinatorial/Geometric Group Theoryを真面目にやらないといけないかもしれない……

MSJ Memoirsという日本数学会の数学書のシリーズがあるのを(今更)知った.そして古いやつはProject Euclidでタダで読める.
mathsoc.jp/publication/memoirs
projecteuclid.org/all/euclid.m

ここ最近,証明の細部を丹念に検証するという作業をほとんどしておらず,「あー,だいたいこんな感じなのね」と思った瞬間に読むのをやめていることが多い(それで後になって振り返ると何も身に付いていない,ということになりがち……)

局所化の理論を忘却していたので$\mathbb{Z}[1/2]/3\mathbb{Z}[1/2]$が何なのかを調べるのに苦戦していた(実際は$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$)

nested stack automaton, embedded pushdown automaton, restricted tree stack automaton, thread automaton, finite automaton with multiplication, homing vector automaton, shrinking two-pushdown automaton,...

形式言語のクラス,○○ automatonとか○○ grammarとかの亜種があまりにも多すぎて全然把握できない

つどいの一般参加枠,募集開始から5日で埋まっちゃったのか.はやい

まあどんな数学的主張$\varphi$に対しても「ZFCから$\varphi$が証明可能かどうか」は$\Sigma_1$文なのでDPRM定理(MRDP定理)からあるDiophantus方程式の整数解の存在と同値なわけですが($\varphi$そのものと同値になるわけではないことに注意)

Riemann予想が$\Pi_1$文と同値(より強く,あるDiophantus方程式の整数解の非存在と同値)であるというのはY. MatiyasevichのHilbert's Tenth Problemにも載ってましたね

ようやくHilbertの第10問題が決定不能であることの証明を最後まで追えた.ヤッター!

読んでる数学書が$A(i,j)$という関数を拡張して$\mathrm{A}(i,j)$という関数を作っていて,もうちょっとなんとかならなかったのかと思う(というか単に拡張した関数を改めて$A(i,j)$とおく,でよかったのでは……)

自然数全体に加法を入れた構造$(\mathbb{N},+)$と同型なモデルとして,種数$g$の向き付け可能な閉曲面$\Sigma_g$ (いわゆる$g$人乗りの浮き輪)の同相類の全体に演算として連結和$\#$を入れたものを考えることができるなあ,とふと思った.こう表現すると閉曲面の分類定理は「向き付け可能な閉曲面の同相類の全体が連結和に関してなす半群は$(\mathbb{N},+)$と同型」と言うこともできる

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